| English | 의미 |
|---|---|
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 역삼각함수 |
제곱근을 숨기고 있는 미분
- 역삼각함수 — $\arcsin$, $\arctan$ 및 관련 함수들 — 은 사인, 탄젠트 등의 역연산을 수행합니다.
- 이들의 미분은 놀랍게도 대수적입니다: 삼각함수가 전혀 없으며, 오직 거듭제곱과 근호만 있습니다.
- 두 개는 그대로 암기할 가치가 있으며, 나머지는 같은 패턴을 따릅니다.
- 이러한 역삼각함수는 나중 적분에서 자주 등장하므로, 이들의 미분을 아는 것은 두 배의 이득이 됩니다.
반드시 알아야 할 두 가지
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- 주의: $\arcsin$의 분모에 근호가 있습니다; $\arctan$은 깔끔한 $1+x^2$을 가집니다.
- 둘 다 정의역 내에서 항상 양수입니다 — 이러한 역함수들은 증가합니다.
arctangent의 완만한 기울기
y = a·tanh(bx) (arctan 유사 형태)
$\arctan x$은 $0$에서 가장 빠르게 상승(기울기 $1$)하고 평탄해지며 — 그 도함수 $\tfrac{1}{1+x^2}$은 $0$로 수렴합니다.
$\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$은 무엇입니까?
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$\arcsin$은 근호 형식 $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$을 가집니다.
$\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$은 무엇입니까?
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$\arctan$은 깔끔한 형식 $\tfrac{1}{1+x^2}$을 가집니다(근호 없음).
나머지 가족
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — $\arcsin$과 동일하지만 부호만 반대입니다.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — $\arctan$의 음수입니다.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- '코-' 접두사가 붙은 역함수에는 마이너스가 있으며, 이는 일반 삼각함수의 패턴을 반영합니다.
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$은 $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$의 ____입니다(크기는 같지만 부호 반대).
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$\arccos$에는 마이너스 부호가 포함됩니다.
제곱근을 포함하는 모든 역삼각함수 도함수를 선택하세요.
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$\arcsin$, $\arccos$, arcsec은 근호를 가지며; $\arctan$은 근호 없는 $\tfrac{1}{1+x^2}$입니다.
체인하여 적용하기
- 연쇄법칙을 사용하여, $x$을 내부함수 $u$으로 대체하고 $u'$을 곱하십시오.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- 모든 연쇄 법칙 문제와 동일한 절차입니다: 외부 공식, 그 다음 $\times\,u'$.
$y=\arctan(3x)$에 대해, $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. $y'$를 $x=0$에서 구하세요.
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$x=0$에서: $\tfrac{3}{1+0}=3$.
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$(내부 인수 없음).
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연쇄 법칙은 내장 도함수 $3$을 더합니다: $\tfrac{3}{1+9x^2}$.
두 형태를 혼동하지 마십시오: $\arcsin$은 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$(근호)을 주지만, $\arctan$은 $\frac{1}{1+x^2}$(근호 없음)을 줍니다. 또한 연쇄법칙을 사용할 때 내장 도함수를 절대 버려서는 안 됩니다: $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$, $\frac{1}{1+9x^2}$이 아닙니다.
함수 $y=\arctan(x^2)$를 미분하십시오.
- 외부: $\arctan(u)$에 $u=x^2$을 곱하여 $\dfrac{1}{1+u^2}$를 얻습니다.
- 내부 미분값: $u'=2x$.
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
$\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$과 $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$을 암기하십시오. '코-' 접두사를 가진 역함수($\arccos$, 아크코탄젠트 등)는 음수 부호가 붙습니다. 합성 역삼각함수의 경우 연쇄법칙을 적용하십시오 — 표준 공식에 내부 도함수 $u'$을 곱합니다.