| English | 의미 |
|---|---|
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 은밀 미분 |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | 은밀(비명시) |
When you can't solve for $y$
- The circle $x^2+y^2=25$ defines $y$ implicitly 隐式 — you can't write it as a single $y=f(x)$.
- Yet the curve still has a slope at each point. How do we get $\tfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$?
- The trick: differentiate both sides with respect to $x$, treating $y$ as a hidden function of $x$.
- This is implicit differentiation 隐函数求导.
$x^2+y^2=25$와 같은 방정식은 $y$를 ____로 정의합니다. 왜냐하면 $y$에 대해 풀리지 않았기 때문입니다.
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그래서 우리는 암묵적 미분법을 사용합니다.
Every $y$ term triggers the chain rule
- Because $y$ secretly depends on $x$, differentiating a $y$-term needs the chain rule.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — the extra $\tfrac{dy}{dx}$ is the inner derivative.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ as usual (no $y$, no extra factor).
- So each time you differentiate a term containing $y$, tack on a $\tfrac{dy}{dx}$.
$x$에 대해 미분하면, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$이 됩니다.
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연쇄 법칙: $2y$에 내미분을 $\tfrac{dy}{dx}$을 곱합니다.
Solve for $\tfrac{dy}{dx}$
- After differentiating, you get an equation with $\tfrac{dy}{dx}$ scattered around.
- Collect all $\tfrac{dy}{dx}$ terms on one side, everything else on the other.
- Factor out $\tfrac{dy}{dx}$ and divide to isolate it.
- The result usually depends on both $x$ and $y$ — that's expected for a curve.
곡선 위의 접선 기울기
y = √(25 − x²) (상단 반원)
$y$에 대해 풀 수 없는 곡선도 각 점에서 접선을 가집니다 — 명시적 미분법은 그 기울기를 찾습니다.
암묵적 미분법의 단계를 순서대로 배치하십시오.
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미분하고, 항을 정리하며, 풀고, 그 다음에 평가합니다.
Evaluate at a point
- To get an actual slope, plug a point $(x,y)$ on the curve into your $\tfrac{dy}{dx}$ formula.
- For $x^2+y^2=25$: differentiating gives $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, so $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- At $(3,4)$: slope $=-\tfrac34$. At $(3,-4)$: slope $=+\tfrac34$.
- The same $x$ can give different slopes — because the curve has two $y$-branches.
$x^2+y^2=25$에 대해, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$입니다. $(3,4)$에서의 기울기를 구하십시오 (소수점 표현).
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$-\tfrac{3}{4}=-0.75$.
인자 $\tfrac{dy}{dx}$는 순수 $x$ 항인 $x^2$를 포함한 모든 항에 추가됩니다.
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$y$가 포함된 항에만 $\tfrac{dy}{dx}$ 인자가 붙습니다.
$xy$를 $x$에 대해 미분하면 ...이 됩니다.
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곱의 법칙: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$입니다.
The chain-rule factor $\tfrac{dy}{dx}$ appears only on terms containing $y$. $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (no factor), but $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$. Forgetting the $\tfrac{dy}{dx}$ on $y$-terms is the defining mistake of implicit differentiation. And a product like $xy$ needs the product rule: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
Find $\tfrac{dy}{dx}$ for $x^2+y^2=25$ at the point $(3,4)$.
- Differentiate: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- Solve: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- At $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — the tangent slope there.
Implicit differentiation: differentiate both sides with respect to $x$, treating $y$ as a function of $x$ so every $y$-term picks up a $\tfrac{dy}{dx}$ (chain rule); then collect, factor, and solve for $\tfrac{dy}{dx}$. Plug in a point on the curve to get a slope. The answer usually depends on both $x$ and $y$.