| English | 의미 |
|---|---|
| differentiability/ˌdɪfəˌrenʃɪəˈbɪlɪti/ | 미분가능성 |
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | 연속함 |
| corner/ˈkɔːnə/ | 모서리 |
| cusp/kʌsp/ | 각점 |
| vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/ | 수직 접선 |
매끄러움은 연결됨을 의미하지만 그 반대는 아닙니다
- 함수가 한 점에서 미분 가능하면, 그 점의 그래프가 단순히 끊어지지 않는 것뿐만 아니라 매끄럽습니다.
- 한 점에서의 미분 가능성은 연속성보다 강한 조건입니다.
- 핵심 사실: 미분 가능 $\Rightarrow$ 연속. 끊어진 곳에서는 접선이 존재할 수 없습니다.
- 하지만 역은 성립하지 않습니다: 연속인 그래프에도 미분이 없는 날카로운 점이 있을 수 있습니다.
A smooth, differentiable curve
y = ax² + bx
This parabola is smooth everywhere — a tangent exists at every point, unlike a corner where the slope jumps.
미분 가능성이 연속성을 강요하는 이유
- 미분은 이분 사선 기울기의 극한입니다; 이 극한이 유한하기 위해서는 함수가 점프할 수 없습니다.
- $f$가 $c$에서 점프한다면, $c$ 근처의 이분 사선 기울기는 발산하여 유한한 접선 기울기가 존재하지 않습니다.
- 따라서 $f'(c)$가 존재하면 $f$이 $c$에서 연속임을 보장합니다.
- contrapositive (시험에 유용): 만약 $f$가 $c$에서 연속이 아니라면, 그곳에서 미분 불가능합니다.
Which implication is true?
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Differentiable forces continuous; the reverse is false.
If $f$ is not continuous at $c$, then $f$ at $c$ is...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Contrapositive of "differentiable $\Rightarrow$ continuous": not continuous $\Rightarrow$ not differentiable.
미분이 존재하지 않는 지점
- 연속성만으로는 충분하지 않습니다 — 틈이 없어도 세 가지 모양이 미분 가능성을 깨뜨립니다:
- 코너: 좌우 기울기가 다릅니다($|x|$의 $0$과 같음).
- 커스: 기울기가 $+\infty$와 $-\infty$로 급증합니다($x^{2/3}$의 $0$과 같음).
- 수직 접선: 접선이 수직이므로 기울기가 정의되지 않습니다($\sqrt[3]{x}$의 $0$과 같음).
At which features does a derivative fail to exist even if the function is continuous?
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Corners, cusps, and vertical tangents kill the derivative; a smooth turning point still has $f'=0$.
At a ____ tangent, the tangent line is vertical, so its slope (the derivative) is undefined.
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A vertical line has undefined slope; e.g. $\sqrt[3]{x}$ at $0$.
모두 다시 접선에 기반합니다
- 미분은 유한한 기울기를 가진 단일 명확한 접선이 있을 때만 존재합니다.
- 코너는 서로 다른 두 접선을 가지며, 커스/수직 접선은 무한한 기울기를 가집니다 — 어느 것도 단일 유한 값을 제공하지 않습니다.
- $|x|$는 모든 곳에서 연속이지만 $0$에서는 미분 불가능합니다 — 고전적인 반례입니다.
- 따라서: 먼저 연속성을 확인해야 합니다(필수 조건), 이후 단일 유한 접선 기울기 존재 여부를 확인합니다(나머지).
$f(x)=|x|$ is continuous at $0$ but not differentiable there.
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The corner gives left slope $-1$, right slope $+1$ — no single tangent slope.
For $f(x)=|x|$, what is the right-hand slope (for $x>0$) at $0$?
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For $x>0$, $f(x)=x$, so the slope is $+1$ (the left slope is $-1$, hence the corner).
함수를 뒤집어 해석하지 마십시오. 미분 가능 $\Rightarrow$ 연속은 참이지만, 연속 $\Rightarrow$ 미분 가능은 거짓입니다. $f(x)=|x|$가 이를 증명합니다: $0$에서 완벽하게 연속이지만, 모서리 때문에 $f'(0)$는 존재하지 않습니다(좌측 기울기 $-1$, 우측 기울기 $+1$).
함수 $f(x)=|x|$는 점 $x=0$에서 미분 가능한가?
- 점 $0$에서 연속인가? 네 — 간극이 없습니다. ✓
- 좌측 기울기: 점 $x<0$와 $f(x)=-x$에 대해 기울기는 $-1$입니다. 우측 기울기: 점 $x>0$와 $f(x)=x$에 대해 기울기는 $+1$입니다.
- 양측 기울기가 다릅니다($-1\neq1$) — 이는 모서리(corner) 입니다.
- 따라서 $f'(0)$는 존재하지 않지만, 함수 $f$은 그 점에서 연속입니다.
미분 가능성 $\Rightarrow$ 연속성 (접선을 위해서는 끊어진 그래프가 필요하므로), 그러나 연속성이 미분 가능성을 보장하지는 않습니다. 모서리(기울기 불일치), 첨점(cusp), 또는 수직 접선(무한대 기울기)에서는 도함수가 존재하지 않습니다 — 즉, 단일하고 유한한 접선이 없는 모든 곳에서 도함수는 정의되지 않습니다.