| English | 의미 |
|---|---|
| interval/ˈɪntəvl/ | 구간 |
| domains/dəˈmeɪnz/ | 정의역 |
한 점에서 전체 구간으로
- 단일 지점에서의 연속성은 좋지만, 보통은 구간 interval 전반에 걸쳐 원합니다.
- 함수가 모든 내부 지점에서 연속일 때, 그 함수는 구간에 대해 연속 continuous on an interval이라고 합니다.
- 이것이 펜을 들지 않고 전체 구간을 그릴 수 있게 해주는 이유입니다.
- 두 가지 미묘한 점이 있습니다: 경계점 endpoints를 어떻게 다루는지, 그리고 어떤 친숙한 함수들이 자동으로 연속인지입니다.
Continuous across the whole view
y = ax³ + bx
A polynomial is continuous on every interval — no holes, jumps, or blow-ups anywhere you look.
개구 구간 vs 폐구간
- 개구 구간 open interval $(a,b)$에서는 모든 내점에서의 삼중 조건 연속성을 확인합니다.
- 폐구간 closed interval $[a,b]$에서는 경계점도 처리해야 하며, 이 경우 한쪽 side에서만 접근할 수 있습니다.
- 왼쪽 끝 $a$에서는 오른쪽 연속성 right-continuity를 요구합니다: $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$.
- 오른쪽 끝 $b$에서는 왼쪽 연속성 left-continuity를 요구합니다: $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$.
At the left endpoint $a$ of a closed interval $[a,b]$, continuity requires...
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You can only approach the left endpoint from the right, so right-continuity is required.
For $f(x)=\sqrt x$ on $[0,9]$, the left-continuity check at the right endpoint needs $\lim_{x\to9^-}\sqrt x$. What is that value?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\sqrt 9 = 3$, which equals $f(9)$, so $f$ is left-continuous there.
"초기 연속성"을 가진 함수들
- Defaults의 자연적 도메인 natural domains에서 이族은 어디나 연속입니다:
- 다항식 polynomials — 모든 실수 $x$에 대해 연속입니다.
- 유함수 rational, 지수 exponential, ** 로그 logarithmic**, 및 삼각함수 trigonometric — 정의되는 곳마다 연속입니다.
- 따라서 유함수는 분모가 0이 되는 곳을 제외하고는 연속이며, $\ln x$은 $x>0$에 대해 연속입니다.
Which function is continuous for all real $x$?
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Polynomials are continuous everywhere; the others have domain gaps.
Select all function families that are continuous on their entire natural domain.
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All four are continuous throughout their domains — the domain just excludes trouble points (e.g. rational at zeros of the denominator).
우리가 중요하게 생각하는 이유: 정리를 열어줌
- 폐구간에서의 연속성은 앞으로 나올 주요 정리들의 입장권 entry ticket입니다.
- 중간값 정리 Intermediate Value Theorem(1.16)과 극한값 정리 Extreme Value Theorem(단위 5) 모두 $[a,b]$에서의 연속성을 필요로 require합니다.
- 연속성 검사를 생략하면 해당 정리들은 단순히 적용되지 않습니다 —常见问题 exam trap입니다.
- 따라서 구간에 대한 연속성 확인은 번거로운 작업이 아닙니다. 그것은其余everything이 서 있는 가정 hypothesis입니다.
$f(x)=\dfrac1x$ is continuous on the interval $[-1,1]$.
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$0\in[-1,1]$ and $f$ blows up there, so it is not continuous on that interval.
Continuity on a closed interval is a required hypothesis of the ____ Value Theorem.
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The IVT (and the Extreme Value Theorem) require continuity on $[a,b]$.
"정의역에서 연속이다"는 '어디서나 연속이다'와 다릅니다. $f(x)=\dfrac1x$는 정의역(모든 $x\neq0$)에서 연속이지만, $[-1,1]$에서는 연속이지 않습니다. 왜냐하면 해당 구간에 $0$이 포함되어 있으며在那里 $f$이 발산하기 때문입니다. 항상 구간이 문제 지점을 피하고 있는지 확인하십시오.
$f(x)=\sqrt{x}$은 $[0,4]$에서 연속입니까?
- 내부 $(0,4)$: $\sqrt x$은 도메인 상의 표준 함수이므로 연속입니다. ✓
- 왼쪽 끝점 $0$: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0=f(0)$ — 오른쪽 연속입니다. ✓
- 오른쪽 끝점 $4$: $\displaystyle\lim_{x\to4^-}\sqrt x=2=f(4)$ — 왼쪽 연속입니다. ✓
- 따라서 $f$은 폐구간 $[0,4]$에서 연속입니다.
$f$은 구간에 대해 연속 continuous on an interval일 때, 내부 모든 지점에서 연속이고, 폐구간의 경계점에서는 양측 continuity one-sided을 사용합니다. 다항식, 유함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수는 도메인 domains에서 연속입니다. 이 구간 연속성은 IVT와 EVT가 의존하는 가정 hypothesis입니다.