| English | 의미 |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | 연속함 |
"펜을 들지 말고 그리기"
- 직관적으로, 함수가 $c$에서 연속이라는 것은 그 지점에 끊김이 없다는 것—구멍도, 점프도, 발산도 없는 것입니다.
- 하지만 '끊김 없음'은 눈으로 보는 것이 아니라 검증할 수 있는 엄격한 테스트가 필요합니다.
- 미적분학은 이를 $c$과 관련된 세 가지 조건으로 규정합니다.
- 이 세 가지를 모두 만족하면 곡선이 $\big(c, f(c)\big)$을 매끄럽게 통과합니다.
끊김이 없는 곡선
y = ax² + bx + c
이 다항식은 모든 지점에서 세 가지 연속성 조건을 모두 만족합니다 — 정의됨, 극한 존재, 그리고 두 값이 일치함.
세 가지 조건
- (1) $f(c)$이 정의됨—그 점이 실제로 존재함(구멍 없음).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$이 존재함—양측 극한이 일치함(점프나 발산 없음).
- (3) THEY ARE 동일함: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$—곡선이 점이 위치한exact位置上 도착함.
- 세 가지 조건이 모두 성립해야 합니다. $c$에서의 연속성은 정확히 조건 (1) + (2) + (3)입니다.
$f$이 $c$에서 연속이 되기 위해 필요한 모든 조건을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
세 가지 조건은 정의됨, 극한 존재, 그리고 등치입니다. 다항식인 것은 필수 조건이 아닙니다.
세 번째 연속성 조건은 극한이 함수 값 $f(c)$과 ____해야 한다고 말합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
하나라도 깨뜨리면 → 불연속
- (1) 실패: 점이 없음—극한이 존재하더라도 구멍임.
- (2) 실패: 양쪽이 불일치하거나 함수가 발산함—점프 또는 무한 끊김.
- (3) 실패: 둘 다 존재하지만 점이 곡선 위에서 떠 있음—다른 곳에 plotting된 수정 가능한 구멍.
- 각 실패는 이전 lesson의 불연속 유형 중 하나에 해당합니다.
만약 $f(c)=1$과 $\lim_{x\to c}f(x)=4$이라면, $c$에서 함수는...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
둘 다 존재하지만 서로 다릅니다—조건 3이 만족되지 않으므로 $f$은 불연속입니다(제거 가능한 구멍).
특정 지점 검증
- 대입: $f(c)$이 실수인가? (조건 1.)
- 양측 극한을 구함:它们在同一个值 $L$에 동의하는가? (조건 2.)
- 비교: $L=f(c)$인가? (조건 3.)
- '예, 예, 예'만 $c$에서 연속이라는 라벨을 받을 수 있습니다.
단순히 $f(c)$이 정의되어 있다는 것만으로 $f$이 $c$에서 연속임을 결론지을 수 있습니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
극한이 존재하고 $f(c)$과 같아야 하는 경우도 필요합니다.
$f(x)=x^2+1$에 대해, $f$이 $x=2$에서 연속합니까?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
세 가지 조건이 모두 성립하므로 $f$은 $2$에서 연속입니다(다항식은 모든 곳에서 연속).
$f$이 $x=1$에서 연속이 되기 위해서는 $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$이 필요합니다. 만약 $\lim_{x\to1}f(x)=7$이라면, $f(1)$은 몇이어야 합니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
조건 3은 $f(1)=7$을 강제합니다.
세 가지 조건이 모두 필요합니다. $f(c)$만 존재함을 확인하거나, 극한만 존재함을 확인하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 함수는perfectly good $f(c)=1$ 와 perfectly good $\lim_{x\to c}f(x)=4$를 모두 가질 수 있지만, $1\neq4$(조건 3 실패) 때문에 여전히 연속적이지 않을(discontinuous) 수 있습니다.
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\[4pt]3,&x=1\end{cases}$은 $x=1$에서 연속입니까?
- (1) $f(1)=3$ — 정의됨. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — 존재함. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — 같지 않음. ✗
- 조건 (3)이 실패했으므로, $f$은 $1$에서 연속적이지 않습니다(discontinuous). 이는 점 높이를 $3$에 표시한 제거 가능한 구멍 removable hole입니다.
$f$은 정확히 세 가지 것이 성립할 때 $c$에서 연속 continuous합니다: $f(c)$가 정의되어 defined 있고, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$이 존재하고 exists 하며, 두 값이 같 equal해야 합니다. 하나라도 실패하면 불연속 discontinuity이 발생하며, 실패한 조건을 통해 어떤 유형의 불연속인지 알 수 있습니다.