| English | 의미 |
|---|---|
| discontinuity/dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | 연속적이지 않음 |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | 제거 가능한 불연속점 |
| jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | 점프 불연속점 |
| infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | 무한 불연속점 |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | 수직 점근선 |
그래프가 '끊기는' 지점
- 연속 곡선은 펜을 들지 않고 그릴 수 있습니다. 불연속은 그 흐름의 끊김입니다.
- 모든 끊김이 같은 것은 아닙니다. 각기 다른 그래프 특징을 가진 세 가지 distinct 유형이 있습니다.
- 유형을 명명하면 해당 끊김을 수선할 수 있는지 즉시 알 수 있습니다.
- 세 가지 유형을 모두 살펴보겠습니다: 수정 가능, 점프, 무한.
수정 가능: 단 하나의 결손 점
- 수정 가능한 불연속은 매끄러운 곡선 위에 있는 단순한 구멍입니다.
- 극한이 존재합니다(양쪽이 같은 높이에 도달), 그러나 $f(c)$이 없거나 다른 곳에 plotting되어 있습니다.
- $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$에는 $x=2$에 구멍이 있습니다: 극한은 $4$이지만, $f(2)$는 정의되지 않았습니다.
- 극한이 존재하므로 '구멍을 메울' 수 있습니다. 따라서 수정 가능(Lesson 1.13)이라고 합니다.
At $x=3$, $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ has a limit of $6$ but $f(3)$ undefined. The discontinuity is...
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A limit exists but the value is missing — a hole, i.e. removable.
점프: 양쪽이 불일치함
- 점프 불연속은 좌우 극한이 모두 유한하지만 다를 때 발생합니다.
- 그래프가 한 높이에서 다른 높이로 도약합니다—계단이나 세율 구간을 생각하세요.
- 여기서 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$은 존재하지 않습니다. 양측 극한이 불일치하기 때문입니다.
- 비영(nonzero) 폭의 간격을 단일 점 값으로 연결할 수 없으므로, 점프는 수정 불가능합니다.
A curve that blows up
y = a / (x − b)
A reciprocal shoots to $\pm\infty$ near where its denominator hits zero — that is an infinite discontinuity and a vertical asymptote.
A jump discontinuity can be removed by redefining the function at the single point.
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The one-sided limits differ, so no single value bridges the gap — jumps are not removable.
A step function is $1$ for $x<0$ and $4$ for $x\ge0$. What is the size of the jump at $x=0$?
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Right minus left: $4-1=3$.
무한: $\pm\infty$ 쪽으로
- 무한 불연속은 함수가 $c$ 근처에서 무한대로 증가하는 지점입니다.
- 그래프가 수직 점근선을 따라 위아래로 급격히 이동합니다—$f(x)=\dfrac1{x-2}$이 $x=2$인 경우와 같습니다.
- 극한이 무한(또는 DNE)이므로 이 끊김도 수정 불가능합니다.
- 특징: 분모가 0으로 가는 반면 분자는 그렇지 않을 때.
An infinite discontinuity appears on a graph as a vertical ____.
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The function grows without bound along the vertical asymptote.
Which discontinuity type is the only one where the two-sided limit exists?
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Removable = a hole where both sides agree, so the limit exists.
Select all functions with an infinite discontinuity at the marked point.
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The third is removable (limit $=2$). The others blow up to $\pm\infty$.
수정 가능한 유형만이 진정한 양측 극한을 가집니다. 점프 및 무한 불연속에서는 극한이 존재하지 않으므로, 단일 점에서의 재정의는 함수를 연속으로 만들 수 없습니다. 점프를 '메우려 하지 마십시오'—간격에는 실제 폭이 있습니다.
표시된 지점에서 각 함수의 불연속을 분류하십시오:
- $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ at $x=3$: 극한 $=6$, 값 미정의 → 수정 가능(구멍).
- $f(x)=\begin{cases}1,&x<0\\2,&x\ge0\end{cases}$ at $x=0$: 좌 $\to1$, 우 $\to2$ → 점프.
- $\dfrac{1}{x^2}$ at $x=0$: $+\infty$로 증가 → 무한.
세 가지 불연속 유형: 수정 가능(구멍—극한은 존재하지만 $f(c)$은 다름), 점프(불일치하는 유한 양측 극한), 무한($c$ 근처에서 무한대, 수직 점근선). 수정 가능한 유형만이 양측 극한을 가지므로, 오직 그것만 수선이 가능합니다.