| English | 의미 |
|---|---|
| limit laws/ˈlɪmɪt lɔːz/ | 극한 법칙 |
| direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 직접 대입 |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 다항식 |
| rational/ˈræʃənl/ | 유리수 |
| indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/ | 불정형 |
한계는 친절한 대수 법칙을 따릅니다
- 두 함수의 한계를 알면, 일반적인 숫자처럼它們를 결합할 수 있습니다.
- $f$과 $g$이 향하는 방향이 무엇이든,它们的和会朝向那些目标的 합을 향합니다.
- 차, 곱, 그리고 (조심스럽게) 나눗셈에도 동일한 원리가 적용됩니다.
- 이들은 한계 법칙으로, 복잡한 한계를 간단한 조각으로 분해할 수 있게 합니다.
한계 법칙, 한곳에서 보기
- 만약 $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$과 $\displaystyle\lim_{x\to c} g(x)=M$이라면:
- 합 / 차: $\lim (f\pm g) = L\pm M$입니다.
- 곱: $\lim (f\cdot g) = L\cdot M$; 상수 배수: $\lim (k f)=kL$입니다.
- 비율: $\displaystyle\lim \frac{f}{g}=\frac{L}{M}$, 단 조건은 $M\neq 0$입니다.
$\lim f = 6$과 $\lim g = 3$가 주어졌을 때, $\lim \dfrac{f}{g}$를 구하십시오.
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비율 법칙 (분모의 극한 $3\neq0$): $\frac{6}{3}=2$.
상수 법칙 $\lim\frac fg=\frac LM$은 분모의 극한인 $M$가 ____이 아니어야 함을 요구합니다.
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$M=0$인 경우 이 법칙을 바로 적용할 수 없습니다 — 불정형일 가능성이 있습니다.
직접 대입: 가장 빠른 길
- 다항식이나 유한함수의 경우, 이 법칙들은 하나의 단축법으로 합쳐집니다: 단순히 $c$을 대입하면 됩니다.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}(x^2-2x+1) = 3^2-2(3)+1 = 4$ — 표도, 그래프도 필요 없습니다.
- 직접 대입은 함수가 $c$에서 정의되고 연속일 때Whenever 작동합니다.
- 이것이 시도해야 할 첫 번째 방법입니다 — 작동한다면 가장 빠릅니다.
다항식은 놀라운 점이 없습니다
y = ax² + bx + c
다항함수는 모든 점에서 매끄럽습니다. 계수를 드래그하여 왜 $c$(직접 대입)을 대입하면 단순히 높이를 읽게 되는지 확인해 보십시오.
$\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x^2 - x + 4)$을 계산하십시오.
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직접 대입: $3(4)-2+4 = 14$.
어떤 극한에서 직접 대입으로 즉시 정답을 얻을 수 있습니까?
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세 번째 값은 $\tfrac00$(분모의 극한 $0$)을 주므로 대입이停滞됩니다; 나머지는 즉시 유한한 값을 줍니다.
대입이 막히었을 때
- 대입해 보면 $\dfrac{0}{0}$: 미정형에 부딪힐 수 있습니다.
- 미정형이라는 것은 한계가 실패했다는 뜻이 아닙니다. 단순히 대입만으로는 결정할 수 없음을 의미하며, 추가적인 작업이 필요합니다(다음 수업).
- 나눗셈 법칙의 세세한 조건을 주의하십시오: 이 법칙은 $M\neq0$이 성립해야 합니다. 분모의 한계가 $0$이라면, 이 법칙은 직접 적용될 수 없습니다.
- 따라서: 먼저 대입을 시도하십시오. 실수 결과가 나오면 완료된 것입니다. $\tfrac00$이 나오면 전략을 변경하십시오.
직접 대입이 $\tfrac00$을给出합니다. 이는 ...을 의미합니다.
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$\tfrac00$는 불정형입니다: 대수 연산을 수행해야 한다는 신호일 뿐, 최종 답안이 아닙니다.
새로운 극한에 마주쳤을 때 직접 대입은 시도해 볼 만한 첫 번째 합리적인 방법입니다.
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성공할 때는 가장 빠릅니다. 오직 불정형을 줄 때만 전략을 변경하십시오.
$\dfrac{0}{0}$은 '불정형'이며 '영'도 아니고 '정의되지 않아 존재하지 않는다(DNE)'도 아닙니다. 이는 극함이 숨겨져 있어 먼저 식을 단순화해야 한다는 신호입니다. $\tfrac00$을 답으로 제출하지 마십시오. 또한 극한이 존재하지 않는다고 결론짓지 마십시오 — $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$에 대입하면 $\tfrac00$이지만, 실제로는 $4$과 같습니다.
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4}$을 구하십시오.
- 분자의 한계: $2(1)^2+3 = 5$. 분모의 한계: $1+4 = 5$입니다.
- 분모의 한계가 $5\neq 0$이므로, 나눗셈 법칙이 적용됩니다.
- 직접 대입을 통해 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4} = \dfrac{5}{5} = 1$입니다.
한계 법칙은 한계를 합, 차, 곱, 나눗셈으로 분해할 수 있게 합니다(나눗셈은 분모의 한계가 0이 아니어야 함). 다항식과 유한함수의 경우 이는 직접 대입으로 압축됩니다 — 항상 먼저 시도하십시오. $\tfrac00$ 결과는 미정형입니다: 답이 아니라 단순화의 단서를 제공합니다.