| English | 의미 |
|---|---|
| left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ | 좌한계 |
| right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ | 우한계 |
| hole/həʊl/ | 공극 |
| jump/dʒʌmp/ | 점프 |
| unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ | 무한대 |
| oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/ | 진동 |
그림에서 한계를 직접 읽기
- 주어진 그래프에서는 대수적 계산 없이도 한계를 보여주는 경우가 종종 있다.
- $x=c$의 약간 왼쪽에서 손가락을 곡선 위에 놓고 $c$ 쪽으로 따라가라: 당신은 어떤 높이로 향하고 있는가?
- 오른쪽에서도 같은 과정을 해라. 두 손가락이 동일한 높이를 향한다면, 그 높이가 한계이다.
- 요령: 곡선이 어디로 가는가를 관찰하고, $x=c$에 있는 단일 plotting된 점에는 주의를 기울이지 마라.
곡선을 한 점 toward traced
y = ax² + bx + c
입력값을 좌우에서 슬라이드하여 — 극한은 고립된 점이 말하든 상관없이 곡선이 근접하는 공통된 높이입니다.
그래프에서 $\lim_{x\to c} f(x)$을 읽으려면 다음을 보아야 합니다...
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극한은 양쪽에서 접근하는 공통된 높이이며, $c$의 dot은 관련이 없습니다.
좌우를 따로 읽기
- 오직 좌측에서 따라가기 → 좌변 한계 $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$.
- 오직 우측에서 따라가기 → 우변 한계 $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$.
- 그래프에서 채워진 점 ●은 해당 점이 곡선 위에 있음을 의미하며, 빈 점 ○(구멍)은 그렇지 않음을 의미한다.
- 한계는 점이 채워졌는지 빈지와 무관하다 — 오직 접근 방식만 중요하다.
그래프가 일정하게 상승하고, $x=5$ 바로 왼쪽에서 곡선이 높이 $2.9, 2.99, 2.999$을 지나갑니다. $\lim_{x\to 5^-} f(x)$을 추정하세요.
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좌변 값이 $3$로 수렴하므로 좌한계는 $3$입니다.
한계가 존재하지 않는 경우
- 한계를 실패하게 만드는 세 가지 고전적인 그래프 형태:
- 점프: 양쪽이 서로 다른 높이로 traced된다.
- 무한대 발산: 곡선이 수직 asymptote 근처에서 $\pm\infty$로 급상승한다.
- 진동: 곡선이 무한히 빠르게 wiggles하며 ($\sin\frac1x$처럼), 절대로 안정화되지 않는다.
그래프의 좌변이 $2$으로, 우변이 $6$으로 향하면 극한은 ____로 인해 존재하지 않습니다.
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다른 일변 높이는 점프 불연속을 의미하므로, 양변 극한은 DNE입니다.
그래프에서 $\lim_{x\to c} f(x)$이 존재하지 않도록 하는 모든 특징을 선택하세요.
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급상승, 점프, 진동은 모두 극한을 없앱니다. 제거 가능한 hole은 그렇지 않습니다 — 양쪽이 여전히 일치합니다.
$c$에 있는 점은 속임수다
- 곡선이 향하는 높이, $\lim_{x\to c}f(x)$, 는 plotting된 값 $f(c)$와 별개의 질문이다.
- 곡선이 $4$으로 부드럽게 향하면서도 고립된 점이 $f(c)=1$에 있을 수 있습니다 — 이 경우에도 극한은 여전히 $4$입니다.
- $f(c)$가 심지어 정의되지 않을 수 있음(구멍)에도 한계는 존재할 수 있다.
- 따라서 항상 두 questions을 separately로 답하라: 곡선은 어디로 가는가? 그리고 점이 있는지, 있다면 어디인가?
그래프에 $(2,4)$에서 빈 구멍과 $(2,1)$에서 채워진 dot이 표시되어 있다면, $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$입니다.
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곡선이 양쪽에서 높이 $4$에 근접하므로 극한은 $4$; 채워진 dot은 오직 $f(2)=1$입니다.
높이 $7$에서 $x=3$를 지나며 다른 곳에는 구멍이나 점이 없는 매끄러운 곡선이 있습니다. $f(3)$와 $\lim_{x\to 3} f(x)$는 무엇입니까?
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hole이나 jump이 없으므로 곡선은 그곳에서 연속이며, 따라서 극한 $= f(3) = 7$입니다.
자주 하는 실수: $f(c)$(그린 점)을 읽는 것, 질문이 $\lim_{x\to c}f(x)$(접근값)을 묻고 있을 때. 이들은 다릅니다. 매끄러운 곡선 위에 떠 있는 채워진 점을 보면, 극한은 곡선의 높이입니다 — 점이 아닙니다.
그래프에서: $x=2$ 근처에서 곡선이 높이 $4$의 구멍으로 상승하고, 채워진 점이 $(2,\,1)$에 plotting된다.
- 좌변 한계: $4$로 향함. 우변 한계: $4$로 향함.
- 둘 다 일치하므로 $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$.
- 그러나 $f(2) = 1$(실점). 여기서의 극한은 $\neq$, 즉 함수값입니다.
그래프에서 한계를 읽으려면, $c$를 양쪽에서 곡선을 따라가고 당신이 향하는 높이를 물어보라; $c$에 있는 plotting된 점은 속임수다. 한계는 DNE이다: 양쪽이 서로 다른 높이를给出하는 경우(점프), 곡선이 무한대인 경우, 또는 끝없이 진동하는 경우.