| English | 의미 |
|---|---|
| limit/ˈlɪmɪt/ | 한계 |
| approaches/əˈprəʊtʃɪz/ | 수렴 |
| one-sided limit/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | 일방 한계 |
| left-hand/left hænd/ | 좌측 |
| right-hand/raɪt hænd/ | 우측 |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | 양측 한계 |
Where is the graph heading?
- Forget the single point for a moment — ask where the curve is heading as you slide $x$ toward a value.
- Follow $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ as $x$ gets close to $1$. Plug in $x=1$ and you get $\tfrac{0}{0}$ — undefined.
- Yet the outputs march steadily toward $2$: $f(0.9)=1.9$, $f(0.99)=1.99$, $f(1.01)=2.01$.
- The function has a hole at $x=1$, but it is clearly aiming at $2$. That target value is the limit 极限.
곡선이 어느 방향으로 향하는지 확인하세요
y = ax² + bx + c
계수를 드래그하고 마음속으로 입력값 $c$을 선택하십시오. 한계는 곡선이 $c$ 근처에서 접근하는 높이이며, 그 점 자체는 아닙니다.
Writing it down: limit notation
- We write $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ and read it "the limit of $f$ of $x$, as $x$ approaches 趋近 $c$, equals $L$."
- $c$ is the input we creep toward; $L$ is the output the function heads for.
- Crucially, $x \to c$ means "gets close to $c$" — never "equals $c$." We stay off the point itself.
- For our example: $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$, even though $f(1)$ does not exist.
표기법 $\lim_{x \to c} f(x) = L$은 $x$이 ...할 때를 의미합니다.
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$x \to c$은 $x$이 $c$에 근접하지만 닿지 않고, $f(x)$이 $L$로 향함을 의미합니다.
$\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$을 계산하십시오.
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인수분해: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ for $x\neq3$, which heads to $3+3=6$.
Coming from the left and the right
- You can approach $c$ from two directions, and each has its own one-sided limit 单侧极限.
- From below ($x$ slightly less than $c$): the left-hand 左侧 limit, $\displaystyle\lim_{x \to c^-} f(x)$.
- From above ($x$ slightly more than $c$): the right-hand 右侧 limit, $\displaystyle\lim_{x \to c^+} f(x)$.
- The small $-$ and $+$ signs sit up high on $c$ to show the direction of travel.
어떤 식이 $f$의 $c$에서의 우변 극한입니까?
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$+$의 상수 기호가 $c$에 표시된 것은 $x$가 위쪽, 즉 오른쪽에서 접근함을 의미합니다.
The two sides must agree
- The ordinary two-sided limit 双侧极限 $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)$ exists only when both one-sided limits exist and are equal.
-
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \lim_{x \to c} f(x) = L$$
- If the left side heads for one value and the right side for another, the two-sided limit does not exist (DNE).
$c$에서의 양쪽 극한이 모두 존재하며 ____일 때만 성립합니다.
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두 일변 극한은 단일 값 $L$에서 일치해야 합니다.
$\lim_{x\to c} f(x)$가 존재하지 않는 모든 상황을 선택하세요.
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양쪽이 일치하지 않거나, 값이 무한대이거나, 진동할 때 한계가 성립하지 않습니다. $f(c)$과의 불일치만으로 한계가 사라지는 것은 아닙니다—연속성만 깨질 뿐입니다.
The limit is about the journey, not the destination point. $\lim_{x \to c} f(x)$ can exist even when $f(c)$ is undefined, and it can differ from $f(c)$ when the point is plotted somewhere off the curve. Never assume $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$ — that is a special case (continuity), not a rule.
$f(c)$이 정의되지 않으면, $\lim_{x \to c} f(x)$도 존재할 수 없습니다.
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극한은 점 자체가 아닌 접근 과정에 관한 것입니다. $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$even though $f(1)$ is undefined.
For a piecewise function, $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3$ and $\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = 5$.
- The left side heads for $3$; the right side heads for $5$.
- They disagree, so $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ does not exist — the graph jumps at $x=2$.
- This is true no matter what value (if any) is plotted at $x=2$.
$\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ says $f(x)$ heads toward $L$ as $x$ nears $c$ from both sides — without ever touching $c$. The two-sided limit exists iff the left-hand and right-hand limits both exist and are equal. The limit describes where the function is going, which need not equal $f(c)$.