| English | 의미 |
|---|---|
| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | 간이조화운동 |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | 변위 |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | 평형 |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | 진폭 |
| period/ˈpɪərɪəd/ | 주기 |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | 주파수 |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | 각주파수 |
세상을 시간으로 이끈 등불
- 1583년 피사 대성당에서 한 학생이 설교 중 지루해하며 자신의 맥박을 기준으로 흔들리는 등불의 주기를 측정했다. 등불이 넓게나 좁게나 흔들리든 각 흔들림에는 동일한 시간이 걸렸다.
- 이는 자명하지 않으며 대부분의 운동에도 적용되지 않는다. 복원력이 변위량에 비례하여 증가할 때만 성립하며, 이 하나의 조건이 전체 주제를 정의한다.
- 갈릴레오의 관찰은 진자 시계가 되었고, 이후 300년 동안 모든 시계의 원리가 되었다.
- 이 과제는 간단조운동이다: 이를 정의하는 방정식, 이를 설명하는 용어, 그리고 $\omega$를 그래프에서 읽는 방법.
정의
- 물체가 고정된 점으로부터의 변위에 비례하며 항상 그 점을 향해 가속될 때 간단조운동을 한다.
- 두 부분 모두 마크를 받기 위해 필요하다. '변위에 비례'라는 표현만으로는 물체를 더 멀어지게 밀어내는 힘으로도 서술될 수 있다.
- 부호로 나타내면, 마이너스 부호는 '평형 위치를 향함'을 의미한다:
오른쪽으로 변위하면 왼쪽으로 가속, 왼쪽으로 변위하면 오른쪽으로 가속
단순 조화 운동에서 가속도는:
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이는 정확히 $a = -\omega^{2}x$입니다 — 큰 변위는 더 큰 복원력을 의미하며, 항상 중앙을 향합니다.
간단 진동의 완전한 정의를 위해 필요한 문장은 무엇입니까? 모두 선택하십시오.
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이 두 문장이 정의이며 두 점 모두를 포함합니다. 일정 주기는 그들의 결과이며, 속도가 일정하다는 것은 명백히 틀린 말입니다.
어휘
- 변위 $x$: 평형 위치로부터의 거리와 방향을 가진다. 진폭 $x_0$: 최대 변위량이다.
- 주기 $T$: 완전한 진동 한 번에 소요되는 시간. 주파수 $f = 1/T$: 초당 진동 횟수, 단위는 헤르츠(hertz).
- 각주파수 $\omega$: 두 양을 연결하며, $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$이다. $\omega$, $f$, $T$ 중 하나를 알면 나머지를 구할 수 있으며, 대부분 문제들은 바로 이 과정을 시작한다.
진자 흔들기
진자를 흔들고 시작 각도를 변경하면—one swing의 시간이 동일하게 유지됩니다(그것이 좋은 시계임을 의미합니다). 이제 끈을 길게 하거나 달로 이동하면 주기가 변함을 관찰하십시오.
진동의 주기가 $2.0\ \text{s}$입니다. 각주파수 $\omega$은?
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$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
시간에 따른 변위
- $t = 0$에서 평형 위치에서 시작할 때: $x = x_0 \sin(\omega t)$. 극단에서 시작할 때: $x = x_0 \cos(\omega t)$.
- 어떤 식을 사용할지는 운동이 시작하는 위치에 따라 결정된다. 선택하기 전에 문제의 초기 조건을 먼저 읽어라.
- 이 그래프는 진폭이 $x_0$이고 주기가 $T$인 사인 곡선이며, 운동은 정확히 반복된다.
하나의 주기, 하나의 완전한 사이클, 그리고 다시 같은 과정
운동 중 어느 지점에서의 속도
- 시간 없이 변위 $x$에서의 속도를 구하는 공식:
- 중심에서 $x = 0$일 때, 이 공식은 최대 속도 $v_{\text{max}} = \omega x_0$를 준다. 극단에서 $x = \pm x_0$일 때는 영이 된다.
- 기억해야 할 패턴은 다음과 같다: 중심에서 가장 빠르고 양 끝에서 순간 정지하며, 가속도는 반대로 중심에서는 영이고 끝에서 가장 크다.
SHM에서 속도는 ____ 위치에서 최대입니다.
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중심에서 모든 에너지가 운동 에너지이므로 속도는 최대입니다 ($v = \omega x_0$).
운동의 끝점 ($x = \pm x_0$)에서 속도는 0입니다.
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진동자는 각 끝점에서 잠시 멈추고 방향을 반전시킵니다 — 속도 0, 가속도 최대.
진동자의 진폭이 $0.10\ \text{m}$이고 $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$입니다. 최대 속도는?
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최대 속도 $= \omega x_0 = 10 \times 0.10 = 1.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
각 물량을 진동 내에서의 최대 지점과 매칭하십시오.
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속도와 가속도는 서로 다른 지점에서 최대가 되며, 동시에 최대가 될 수 없습니다.
worked example: 주기에서 최대 속도 구하기
- 주기가 $2.0\ \text{s}$이고 진폭이 $0.10\ \text{m}$인 질량이 진동한다. 이 질량의 최대 속도와 최대 가속도를 구하시오.
- 먼저 $\omega$를 구한다: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = 3.14\ \text{rad/s}$. 거의 모든 SHM 문제는 여기서 시작한다.
- 중심에서의 최대 속도: $v_{\text{max}} = \omega x_0 = 3.14 \times 0.10 = 0.31\ \text{m/s}$.
- 극단에서의 최대 가속도: $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0 = 3.14^2 \times 0.10 = 0.99\ \text{m/s}^2$.
- 각 최대값이 발생하는 위치를 확인하라. '어떤 변위에서'라고 묻는 문제는 속도는 중심, 가속도는 극단을 요구한다.
진동의 주기가 2.0 s이고 진폭이 0.10 m입니다. 최대 속도는 m/s 단위로?
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omega = 2 pi / T = 3.14 rad/s, v_max = omega x0 = 0.31 m/s, 이는 중심에서 발생합니다. 최대 가속도는 끝점에서 발생하며, omega의 제곱에 x0을 곱한 값인 0.99 m/s^2입니다.
가속도-변위 그래프 읽기
- $a = -\omega^2 x$이므로, 가속도를 세로축, 변위를 가로축으로 한 그래프는 원점을 지나는 직선이며 음의 기울기를 가진다.
- 기울기는 $-\omega^2$이므로, $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$이며, 따라서 $T = 2\pi/\omega$이다.
- 이것이 시험에서 $\omega$을 명시하지 않고 주는 표준 방식이다. 원점을 지나며 음의 기울기를 갖는 직선은 운동이 간단조임을 증명하라는 표준적인 질문 형식이기도 하다.
직선, 원점 통과, 음의 기울기: 이 세 가지 모두 중요하다
SHM의 가속도-변위 그래프에서 기울기는 다음과 같습니다:
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$a = -\omega^{2}x$는 기울기가 $-\omega^{2}$인 직선이므로 $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$입니다.
worked example: 간단조운동인가?
- 카트의 다양한 변위에서의 가속도 측정이 원점을 지나며 기울기가 $-25\ \text{/s}^2$인 직선을 gave. 이 운동이 간단조운동임을 증명하고 주기를 구하시오.
- 그래프가 직선이므로 $a \propto x$; 원점을 지나므로 상수항이 없으며, 기울기가 음수이므로 가속도는 평형 위치를 향한다. 이 세 가지 사실은 정의에 해당하므로 이 운동은 간단조운동이다.
- 기울기가 $-\omega^2 = -25$이므로, $\omega = 5.0\ \text{rad/s}$이며, $T = \dfrac{2\pi}{5.0} = 1.3\ \text{s}$이다.
진동자의 가속도-변위 그래프가 원점을 지나며 기울기가 초당 제곱 -25인 직선입니다. 주기는 초 단위로?
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기울기는 -omega의 제곱이므로 omega = 5.0 rad/s이며 T = 2 pi / 5.0 = 1.3 s입니다. 직선이고 원점을 지나며 음수라는 사실 역시 운동이 단순 진동임을 증명합니다.
놓칠 수 있는 점
- 정의에는 두 부분 모두가 필요하다: 변위에 비례하고 고정된 점을 향해 작용해야 한다. 마이너스 부호가 두 번째 조건을 담고 있다.
- $\omega$의 단위는 **헤르츠가 아닌 rad s$^{-1}$**이다. 대입하기 전에 $\omega = 2\pi f$로 변환하라.
- 속도는 중심에서 가장 크고, 가속도는 극단에서 가장 크다. 두 양이 동시에 최대가 되는 일은 없다.
- 습관에 의존하지 말고 운동이 시작하는 위치에 따라 사인(st) 또는 코사인(cos)을 선택하라.
이해했습니다
- SHM: 가속도가 변위에 비례하며 고정된 점을 향해 작용하므로, $a = -\omega^2 x$이다.
- $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$이며, 거의 모든 문제가 $\omega$을 구하는 것으로 시작한다.
- 중심에서 $x = x_0\sin\omega t$하거나 극단에서 $x_0\cos\omega t$합니다; $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$이므로, 중심에서는 $v_{\text{max}} = \omega x_0$이고 끝에서는 $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0$입니다
- 원점을 지나고 음의 기울기를 가진 가속도-변위 그래프가 직선이라면 단순진동을 증명하며, 그 기울기는 $-\omega^2$입니다.