| English | 의미 |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | 라디안 |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 호 길이 |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | 각속도 |
| period/ˈpɪərɪəd/ | 주기 |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | 주파수 |
| tangential/tænˈdʒenʃl/ | 접선 방향 |
| linear speed/ˈlɪnɪə spiːd/ | 선속도 |
회전목마
- 회전목마 위의 두 마리의 말은 모두 동시에 한 바퀴를 도는 것입니다.
- 하지만 바깥쪽 말은 안쪽 말보다 분명히 더 빠르게 이동합니다.
- "돌아감"과 "속도" 사이의 연결 고리가 바로 우리가 여기에서 설정하는 개념입니다.
라디안 단위의 각도
- **라디안(radian)**은 호(arc)의 길이가 반지름과 같은 각도입니다: $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- 완전한 원은 $2\pi\ \text{rad}$입니다. (이 주제를 위해 계산기를 라디안(rad) 모드로 설정하십시오.)
페리스휠: 각 카가 일정한 각속도로 원운동을 함
각속도
s = rθ
각속도는 시간당 각도를 돌리는 것; 호 길이 s = rθ.
1 라디안은 호 길이가 ____와 같아지는 각도입니다:
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$\theta = \dfrac{s}{r}$이므로 호 $s$가 반경 $r$과 같아질 때 각도는 정확히 1 라디안입니다.
완전한 원에는 몇 라디안이 있습니까?
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완전한 원은 호 $s = 2\pi r$을 가지므로 $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$입니다.
각 용어를 감점 기준에 맞는 정의와 매칭하십시오.
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라디안을 180/pi 도로 정의하거나, 공식 θ = s/r를 사용하는 것은 오답입니다. 반지름과 길이가 같은 호(弧)가 정답 구문입니다.
각속도
- 각속도 $\omega$는 각도가 변하는 속도를 의미하며, 이는 $\omega = \dfrac{\theta}{t}$입니다.
- 단위: $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$입니다.
호의 길이가 반지름과 같은 각도인 1 라디안
주기 및 진동수
- 한 바퀴 돌기에 걸리는 시간이 주기(period) $T$이므로, $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$입니다.
- $f = \dfrac{1}{T}$는 초당 회전 수(Hz)입니다.
반지름이 각도만큼 회전하면 물체는 아크를 따라 속도 v로 이동함
物体가 $2.0\ \text{s}$마다 한 바퀴 돌 때, 각속도는 얼마인가?
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$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
각속도는 $2\pi$을 ____로 나눈 값이다.
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$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — 전체 회전($2\pi$)을 한 바퀴 돌 데에 걸린 시간으로 나눈 값이다.
선속도와 각속도
- 실제(접선) 속도는 $v = r\omega$입니다.
- 같은 $\omega$, 더 큰 $r$ → 더 큰 $v$ — 이것이 바깥쪽 말이 더 빠른 이유입니다.
반지름 $0.50\ \text{m}$에 있는 점이 $\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$의 속도로 회전할 때, 이 점의 선속도는 얼마인가?
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$v = r\omega = 0.50 \times 4.0 = 2.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
목마르미에서 중심으로부터 더 먼 말은 더 큰 선속도로 이동한다.
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같은 각속도 $\omega$이지만, $v = r\omega$이므로 반지름이 클수록 선속도가 커진다.
바퀴가 4.0초마다 한 바퀴 돌 때, 각속도는 rad/s 단위로 몇 인가?
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omega = 2 pi / T = 1.57 rad/s. 이 주제의 모든 공식은 라디안을 전제로 하므로, 계산기를 '도(degrees)' 모드로 두면 v = r omega도 quietly ruins (잘못된 결과를 낳는다).
등속 원운동 설명하기
- 시험에서는 이를 "속력과 가속도를 사용하여" 표현하라고 요구합니다. 세 가지 사항을 모두 언급하십시오:
- 속력(speed) 은 일정하지만, 속도(velocity) 는 일정하지 않습니다 — 접선을 따라가며 지속적으로 방향이 변화합니다;
- 가속도(acceleration) 의 크기는 일정하며, 항상 중심으로 향하며, 속도에 수직입니다.
균일 원운동하는 물체를 올바르게 설명하는 진술은 무엇인가? 모두 선택하시오.
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속력은 일정하지만 속도의 방향은 계속 변하므로 가속도가 존재한다 — 크기는 일정하고 항상 중심을 향한다.
균일 원운동에서 다음 중 어떤 양이 일정하게 되는가? 모두 선택하시오.
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속도의 방향은 continuously(계속) 변하므로, 이것이 바로 가속도가 존재하는 이유이다. 힘은 일을 하지 않으므로 운동 에너지는 절대 변하지 않는다.
풀이 예제: 정지해 있음에도 빠르게 이동함
캠브리지의 위도는 $52.2^\circ$이며, 지구의 반지름은 $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$이고 하루 한 번 회전합니다. 캠브리지가 도는 원의 반지름, 속력, 그리고 이 운동을 위해 $60\ \text{kg}$kg 학생에게 필요한 합력을 구하십시오.
- 원의 반지름: 해당 도시는 Earth의 중심이 아닌 회전축(axis) 을 중심으로 돌기 때문에, 반지름은 $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$입니다.
- 각속도: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$입니다.
- Speed: $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- 합력: $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$이며, 회전축을 향해 작용합니다.
- 검증: 학생의 $590\ \text{N}$ 중력에 비해 매우 미약한 힘 — 우리는 제트 기체보다 빠르게 움직이고 있음에도 불구하고 이 회전을 느끼지 못하는 이유입니다.
$\omega$는 반드시 라디안每秒(radians per second) 단위로 표시되어야 합니다. 분당 회전수는 $\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$로 변환해야 하며, 여기서의 모든 공식에서 완전한 한 바퀴는 $2\pi$이며, 절대 $360$가 아닙니다. $r$는 $v = r\omega$ 단위인 미터(meters) 입니다. 또한 주기는 반바퀴나 진動의 시간이 아니라 완전한 한 바퀴에 걸리는 시간입니다.
드릴 비트가 분당 $3000$ 회전을 할 때, 각속도는 rad/s 단위로 몇 인가?
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분당 $3000$ 회전은 초당 $50$ 회전이며, 한 회전은 $2\pi$ rad이므로 $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$이다.
감을 잡기 위한 숫자들
- 분당 $500$ 회전하는 CD: $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$입니다.
- 반지름 $0.30\ \text{m}$인 자동차 바퀴가 $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$로 이동할 때: 속도는 $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$이며, 약 $11$회/초의 속도로 회전합니다.
- Earth: $86\,400\ \text{s}$에 한 바퀴를 도니, 각속도는 $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — 각도로 보면 느리지만, 가장 바깥쪽(적도)에서는 빠릅니다.
이해했습니다
- 라디안: $\theta = \dfrac{s}{r}$; 완전한 원은 $2\pi\ \text{rad}$입니다
- 각속도 $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (rad/s — 분당 회전수를 변환하여 사용)
- 선속도 $v = r\omega$ (반지름이 클수록 빠름); 등속 원운동: 일정 속력, 변하는 속도, 중심을 향한 가속도