| English | 의미 |
|---|---|
| discrete distribution/dɪˈskriːt ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 이산 분포 |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | 확률 모함수 |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 계수 |
| variance/ˈveərɪəns/ | 분산 |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 미분계수 |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | 독립적인 |
단일 함수로서의 분포
- 이산 분포는 확률의 나열인데 — 조작하기 번거롭습니다.
- 확률생성함수(PGF) 는 전체 나열을 하나의 깔끔한 함수에 압축하여, 어려운 확률 합계를 쉬운 미적분으로 바꿉니다.
확률 생성 함수 실험실
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
x를 변경하여 PGF가 확률을 x의 거듭제곱으로 어떻게 저장하는지 확인하세요.
PGF 정의
- 이산 변수 $X$가 $0, 1, 2, \dots$의 값을 취할 때:
- $t^x$의 계수는 정확히 $P(X = x)$ — 이 함수가 분포를 인코딩합니다.
확률생성함수는 모든 확률을 계수로 저장함
X의 확률 생성 함수는 다음과 같이 정의됩니다:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
G(t) = E(tˣ) = Σ P(X=x) tˣ.
미분을 통한 평균과 분산
- 미분하고 $t = 1$에서 평가합니다:
해설 예제. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. 따라서 $G'(t) = 0.3 + 0.4t$, 즉 $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
X의 G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t²입니다. E(X) = G′(1)이고 G′(t) = 0.3 + 0.4t일 때, E(X)는 얼마입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
G'(1) = 0.3 + 0.4(1) = 0.7.
평균은 PGF에서 E(X) = G′(______)로 구합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
E(X) = G'(1).
독립 변수들의 합
- 가장 유용한 성질: 독립 변수들의 합의 PGF는 각자의 PGF의 积입니다:
- 이는 독립 변수를 더하는 것(예: 여러 주사위의 합)을 거의 effortlessly하게 만듭니다.
모든 유효한 PGF에 대해 G(1)의 값은 무엇입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
G(1) = Σ P(X=x) = 1입니다. 확률의 합이 1이기 때문입니다.
두 독립 변수의 합의 PGF는 각 변수의 PGF의 곱입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
독립인 X와 Y에 대해 G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t)입니다.
유효한 PGF인지 확인
$G(1)$는 1이어야 합니다. $G(1) = \sum P(X = x)$이므로, 유효한 PGF는 항상 $G(1) = 1$을 줍니다 — 미분하기 전의 빠른 검증检查一下.
이해했습니다
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (및 $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- 독립 변수들의 합의 PGF는 각자의 PGF의 积입니다