| English | 의미 |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | 표본 |
| distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 분포 |
| variance/ˈveərɪəns/ | 분산 |
| tail/teɪl/ | 꼬리 |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | 신뢰 구간 |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | 자유도 |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | 표준 오차 |
| paired/peəd/ | 쌍(매칭) |
| pooled estimate/puːld ˈestɪmət/ | 합산 추정치 |
Small samples 样本, honest uncertainty
- With a huge sample you can use the normal distribution 分布. But with only, say, 8 measurements and an unknown spread, the normal is too confident.
- William Gosset, brewing at Guinness, invented the $t$-distribution to handle exactly this — small samples with unknown variance 方差.
When to use the t-distribution
- Use the $t$-distribution when the sample is small and the population variance is unknown (you estimate it with the sample's $s$).
- It is bell-shaped like the normal but with heavier tails 尾部 — wider, to admit the extra uncertainty.
The t-distribution is bell-shaped like the normal but with heavier tails; as the sample grows it approaches the normal.
추론 & 정규 곡선
P(Z < z)
검정과 구간은 정규 곡선 아래의 면적을 읽습니다 — z를 이동하여 찾아보십시오.
다음 중 언제 t분포를 사용합니까(정규분포 대신)?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
작은 n且未知 σ → s로 추정하고 t를 사용합니다.
t분포는 정규분포보다 꼬리가 두껍습니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
두꺼운 꼬리는 분산을 추정함으로 인한 추가 불확실성을 반영하며, n이 커지면 t분포는 정규분포에 수렴합니다.
Confidence interval 置信区间 for the mean
- A confidence interval for the population mean:
- $t$ comes from the $t$-tables with $n - 1$ degrees of freedom 自由度; $\dfrac{s}{\sqrt n}$ is the standard error 标准误.
단일 표본 크기 n = 10일 때, t값에 사용되는 자유도는 몇 개입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
자유도 = n − 1 = 9입니다.
량 s/√n은 표준 ______라고 부릅니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
표준오차는 s/√n입니다.
Worked example
- A sample of $n = 10$ has $s = 4$; for 95% with 9 degrees of freedom, $t = 2.262$.
- Margin $= t\dfrac{s}{\sqrt n} = 2.262 \times \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 2.86$ (2 dp).
The t-distribution has a lower peak and heavier tails than the normal
표본 n = 10이고 표준편차 s = 4입니다. t = 2.262일 때, 오차 한계 t × s/√n은 얼마입니까? (소수점 이하 2자리)
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
2.262 × 4/√10 = 2.262 × 1.265 = 2.86.
Comparing two populations
- A 2-sample or paired 配对 $t$-test compares two populations.
- When the two are assumed to share a variance, combine them into a pooled estimate 合并估计 of $s^2$.
Degrees of freedom, not $n$. The $t$-value uses $n - 1$ degrees of freedom, not $n$. Reading the wrong row of the table is the most common error.
- For a small sample, base a hypothesis test on the $t$-distribution: a 2-sample t-test or a paired sample t-test.
You've got it
- small sample + unknown variance → use the $t$-distribution ($n-1$ degrees of freedom)
- CI for the mean: $\bar{x} \pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$, with standard error $\dfrac{s}{\sqrt n}$
- compare two populations with a 2-sample or paired $t$-test (pool the variance when shared)