적분 (Further Pure 2)

어휘

English	의미
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	원시함수
standard form/ˈstændəd fɔːm/	표준형
substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	대입
hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/	쌍곡선 함수
trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/	삼각함수
surd/sɜːd/	근호
reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/	환원 공식
arc length/ɑːk leŋθ/	호의 길이

반발하는 적분

일부 적분에는 명백한 원함수가 없지 — 표준형이나 적절한 치환을 찾아내면 해결됩니다.
추가 순수 수학 2는 도구상자를 제공합니다: 역삼각 표준 적분, 삼각/쌍곡선 치환, 그리고 감축 공식입니다.

표준 적분

암기할 만한 두 가지 결과가 있습니다:

$$\int \frac{1}{a^2 + x^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C$$

적분을 양식에 맞추고 $a$을 확인하여 답을 쓰세요.

정적분은 곡선 아래 면적을 측정합니다

탐색하기

곡선 아래의 면적

면적 = ∫ f(x) dx

모든 적분은 곡선 아래의 면적을 측정합니다 — 한계를 드래그하세요.

연습

∫ 1/(a² + x²) dx의 값은 무엇입니까?

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

(1/a) tan⁻¹(x/a) + C
sin⁻¹(x/a) + C
ln(a² + x²) + C
a tan⁻¹(ax) + C

연습

∫ 1/√(4 − x²) dx의 값은 무엇입니까?

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

sin⁻¹(x/2) + C
tan⁻¹(x/2) + C
√(4 − x²) + C
ln(4 − x²) + C

연습

각 적분을 그에 맞는 결과와 매칭하세요.

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

매치 하나를 선택한 후 목적지를 지정하세요. 매치를 두 개 선택하여 교체할 수 있습니다. Esc 키를 누르면 선택이 취소됩니다. 매치를 드래그하여 이동할 수도 있습니다.

(1/a)tan⁻¹(x/a) + C

sin⁻¹(x/a) + C

ln|x| + C

∫ 1/(a²+x²) dx
∫ 1/√(a²−x²) dx
∫ 1/x dx

치환(substitution)

삼각함수 치환($x = a\sin\theta$ 또는 $x = a\tan\theta$)은 루트나 이차 분모를 간단한 형태로 바꿉니다.
쌍곡선 치환($x = a\sinh u$)은 $\sqrt{a^2 + x^2}$을 처리합니다.

Example

풀이 예시. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. 여기서 $a^2 = 9$이므로 $a = 3$: 답은 $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$입니다.

연습

∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C에서 a는 무엇입니까?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

감축 공식

감축 공식은 적분 $I_n$을 더 낮은 차수의 적분 $I_{n-1}$(또는 $I_{n-2}$)과 연결합니다.
이를 반복 적용하여 직접 적분할 수 있는 기본 경우까지 '내려' 가세요.

Watch out

적분 한계를 잃지 마세요. 정적분의 경우 감축 공식의 경계 항은 각 단계마다 한계에서 계산되는데, 부호나 인수를 놓치는 흔한 실수 지점입니다.

연습

감소 공식은 적분 Iₙ을 Iₙ₋₁과 연결하여 단계별로 계산할 수 있게 해줍니다.

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

응용 분야

적분은 곡선 자체를 측정하기도 합니다:
호 길이: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
회전체 표면적: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
삼각함수 치환, 쌍곡선 함수, 그리고 분모의 제곱완성을 사용하여 적분하세요.

연습

호 길이는 √(1 + (______)²) dx의 적분입니다.

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

이해했습니다

Key idea

$\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
루트와 이차 분모에는 삼각 / 쌍곡선 치환을 사용하세요
감축 공식은 $I_n$을 $I_{n-1}$으로 낮추며, 적분은 또한 호 길이와 표면적을 구합니다