초월함수(hyperbolic functions)

사슬에 걸린 곡선들

• 매달린 사슬은 포물선이 아닌, $\cosh x$의 그래프인 카테나리 곡선을 형성합니다.
• 초기하함수는 지수함수로부터 정의되며, 현수교, 전선, 그리고 일반 상대성 이론에서 우주의 형태에 이르기까지 곳곳에 나타납니다.

정의

• 지수함수로부터 정의됩니다:

cosh와 sinh는 e^x와 e^-x의 평균과 반차입니다

주요 항등식

• 주요 항등식: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ ($\cos^2 x + \sin^2 x = 1$과 비교).
• 합법칙: $\sinh(A + B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$.

매달린 케이블은 포물선을 이루며, 이는 초코사인 함수 y = a cosh(x/a)의 곡선입니다

미분

• $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, $\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ (마이너스 부호 없음!).
• $\dfrac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x$.

역초기하함수

• 역함수 형태는 로그 함수입니다:
  • $\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
  • $\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$은 $x \geq 1$의 배수임.

이해했습니다