벡터 (Further Pure 1)

3차 원 공간의 수학

• 점과 평면 사이의 거리를 어떻게 구하나요? 두 표면 사이의 각도는요? 두 이종 직선 사이의 최단 경로는요?
• 평면과 벡터 곱은 이러한 문제들을 해결하는 도구들을 제공합니다 — 공학, 건축, 컴퓨터 그래픽에 필수적입니다.

평면의 방정식

• 평면은 여러 형태로 표현할 수 있습니다:

법선 벡터 n은 평면에 수직이며, 스칼라 곱 형태는 n·r = d입니다.

• 데카르트 형식: $ax + by + cz = d$
• 벡터 형식: $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$ (여기서 $\mathbf{n}$은 법선 벡터입니다)
• 매개변수 형식: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$

벡터(교)곱

• 벡터 곱 $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\,\hat{\mathbf{n}}$은 두 벡터 모두에 수직인 벡터를 만듭니다.
• 그 길이는 $\mathbf{a}$과 $\mathbf{b}$이 이루는 평행사변형의 면적과 같습니다.

바람이나 물과 같은 힘은 크기와 방향을 가진 벡터입니다

응용 분야

• 스칼라 곱과 벡터 곱을 사용하여: 거리, 각도, 직선과 평면의 교점, 그리고 이종 직선 사이의 최단 거리를 구할 수 있습니다.
• 점과 평면 사이의 거리: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

벡터 곱은 두 벡터 모두에 수직이며, 그 길이는 평행사변형의 면적입니다

법선 구하기

• 두 벡터 $\mathbf{b}$과 $\mathbf{c}$을 포함하는 평면의 법선은 $\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$입니다.
• 이는 매개변수 형식에서 데카르트 방정식을 빠르게 구하는 방법입니다.

이해했습니다