| English | 의미 |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | 데카르트 |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | 극좌표 |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | 회전 대칭 |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | 심장선 |
| sector/ˈsektə/ | 원형 부분 |
원주방정식을 단순화하는 좌표계
- 직교 좌표계에서 나선형이나 원을 묘사하려면 복잡한 식이 필요하다. 극좌표계에서는 원의 방정식이 단순히 $r = \text{constant}$이다.
- 극좌표는 행성 궤도부터 레이더 화면까지 회전 대칭이 있는 모든 것에 적합합니다.
극좌표
- 극좌표는 원점에서 거리가 $r$이고 각도가 $\theta$인 점을 지정합니다.
- Cartesian과의 연결:
풀이 예제. Cartesian 좌표의 점 $(r, \theta) = (5, 60°)$: x=$x = 5\cos 60° = 2.5$, y=$y = 5\sin 60° = 4.33$. 따라서 해당 점은 $(2.5, 4.33)$입니다.
극좌표 $(r,\theta)$은 $x=r\cos\theta$ 및 $y=r\sin\theta$을 통해 Cartesian 좌표로 변환됩니다
나사산 계단: 나사선은 극좌표(r, theta)로 자연스럽게 묘사됩니다
극좌표계
r = f(θ)
극좌표형에서 점은 (r, θ)로 표현됩니다. 아름다운 곡선들 — 장미, 심장곡선, 나선 — 은 r = f(θ)에서 유래합니다.
극좌표계에서 x좌표는 다음과 같이 주어집니다:
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x = r cos θ이고 y = r sin θ입니다.
(r, θ) = (5, 60°)를 직교좌표계로 변환하십시오. x = r cos 60°은?
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x = 5 cos 60° = 5 × 0.5 = 2.5.
직교좌표계 점 (3, 4)에 대해, r² = x² + y²입니다. r²을 구하시오.
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r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
극 곡선
- 일반적인 극 곡선:
r = 4cos θ는 반지름 2이고 중심이 (2, 0)인 원입니다 — 극좌표 형식은 이를 일행 방정식으로 표현합니다.
- $r = a$ — 원점 중심, 반지름 $a$인 원.
- $r = a\cos\theta$ — 반지름 $\dfrac{a}{2}$이고 중심이 $\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$인 원.
- $r = a(1 + \cos\theta)$ — 카르디오이드(심장 모양).
극곡선 r = 4cos θ는 원입니다. 반지름은?
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r = 4cos θ는 x² + y² = 4x, 즉 (x−2)² + y² = 4를 주며 — 반지름이 2인 원입니다.
극곡선 r = a(1 + cos θ)는 다음이라 불립니다:
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r = a(1 + cos θ)는 심장 모양의 곡선인 심장곡선을 그립니다.
극 좌표 면적
- 부채꼴 면적: $\text{area} = \tfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$.
$\dfrac{1}{2}$을 잊지 마십시오. 극 좌표 면적 공식에는 놓치기 쉬운 $\dfrac{1}{2}$ 인자가 포함되어 있습니다. 이는 얇은 삼각형 부채의 면적에서 유래합니다: $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$.
극 좌표로 직접 그린 곡선인 카르디오이드 r = 1 + cos theta
극좌표 영역의 면적은 ½∫r² dθ입니다.
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이는 표준 극좌표 면적 공식입니다.
곡선 변환하기
- 예시: $r = 4\cos\theta$ → $r$을 곱함: $r^2 = 4r\cos\theta$ → $x^2 + y^2 = 4x$ → $(x-2)^2 + y^2 = 4$, 반지름 $2$인 원.
이해했습니다
- $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$
- 극 좌표 부채꼴 면적 $= \tfrac12\int r^2\,d\theta$
- $r = 4\cos\theta$은 $(2, 0)$을 중심으로 하는 반지름 2인 원입니다.