| English | 의미 |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | 행렬 |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 변환 |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | 단위 행렬 |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | 행렬식 |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | 역 |
| singular/ˈsɪŋɡjʊlə/ | 특이(일체) |
| invariant/ɪnˈveərɪənt/ | 불변량 |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | 확대 |
컴퓨터 그래픽을 구동하는 수학
- 휴대폰에서 이미지를 회전할 때마다 행렬 곱셈이 뒷배경에서 작업을 수행합니다.
- **행렬(matrices)**은 변환(transformation)의 언어입니다. 회전, 반사, 신장(stretches), 투영(projections)을 하나의 간결한 객체로 서술합니다.
행렬 기초
- **행렬(matrix)**은 숫자의 직사각형 블록입니다. 행 × 열을 곱합니다.
- 단위 행렬(identity matrix) $I$은 행렬을 변화시키지 않습니다: $AI = IA = A$.
풀이 예제. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
행렬
(x', y') = M(x, y)
행렬 평면을 변환하며, 행렬식은 면적 확대 배율입니다(음수 = 뒤집기).
[[1, 2], [3, 4]]를 [[5], [6]]에 곱하십시오. 결과의 위 성분은?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
1(5) + 2(6) = 5 + 12 = 17.
2x2 행렬 [[a,b],[c,d]]의 역행렬을 구하는 단계를 순서대로 나열하시오.
난이도 3/5 · 200 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
역행렬은 (1/det)[[d,−b],[−c,a]]입니다 — 대각선 성분을 바꾸고, 비대각선 성분의 부호를 바꾸며, det으로 나눕니다.
행렬식과 역행렬
- $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대해: **행렬식(determinant)**은 $\det A = ad - bc$입니다.
- $\det A \neq 0$ (특이하지 않은 non-singular인 경우), **역행렬(inverse)**은 $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$입니다.
특이 행렬에는 역행렬이 없습니다. $\det A = 0$일 때, 이 행렬은 특이(singular) — 평면을 직선으로 압축하여 복원할 수 없는 정보를 잃습니다.
행렬 [[3, 1], [2, 4]]의 행렬식(ad − bc)은?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
det = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10.
2×2 행렬의 역행렬이 존재하는 조건은 행렬식이:
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비특이 행렬(det ≠ 0)은 가역이며, det = 0인 경우 특이 행렬(역행렬 없음)입니다.
A = [[3, 1], [2, 4]]이고 det = 10일 때, A⁻¹의 좌상단 성분을 d/det로 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. 좌상단 = 4/10 = 0.4.
변환으로서의 행렬
- $2\times2$ 행렬은 평면의 변환을 나타내며, $\det A$ = ** 면적 비례 인자**입니다.
2x2 행렬은 단위 사각형을 평행사변형으로 매핑하며, 그 행렬식이 면적 확대 율입니다.
- 곱 ⟨$AB$⟩는 "$B$을 수행한 후, $A$를 수행"을 의미합니다. 움직이지 않는 점/직선은 **불변(invariant)**입니다.
변환 행렬에서 행렬식은 다음을 나타냅니다:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
행렬식은 변환에 의해 면적이 확대되는 배율입니다.
행렬 AB의 곱셈은 "먼저 B를 수행한 후 A를 수행"을 의미합니다.
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행렬 곱셈은 오른쪽에서 왼쪽으로 적용됩니다: AB(x) = A(B(x)), 따라서 B가 먼저 작용합니다.
일반적인 변환
| 행렬 | 변환 |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | $y$축에 대한 반사 |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | $90°$anticlockwise 회전 |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | 확대 율 $k$ |
- 행렬의 덧셈, 영행렬(zero matrix), 단위 행렬(identity or unit matrix), 그리고 변환의 **불변점(invariant points)**과 **불변선(invariant lines)**을 알고 있어야 합니다.
이해했습니다
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; $\det \neq 0$일 때 역행렬 가능(invertible)
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- 행렬은 변환이며, $\det$ = 면적 비례 인자; $AB$ = "$B$을 수행한 후, $A$를 수행"