급수의 합

어휘

English	의미
summation/sʌˈmeɪʃn/	합
method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/	차분법
telescope/ˈtelɪskəʊp/	신호 소거법
converge/kənˈvɜːdʒ/	수렴
sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/	무한합
partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	부분분수

English

The sum that Gauss solved at age 10

Young Gauss's teacher set the class the task of adding $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$, expecting an hour's work. Gauss saw the pattern instantly: pair the first and last ($1 + 100 = 101$), the second and second-to-last ($2 + 99 = 101$), and so on — 50 pairs of 101 = 5050.
Summation 求和 formulas turn long additions into simple algebra.

English

Standard summation results

$$\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1),$$

$$\sum_{r=1}^{n} r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2.$$

Example

Worked example. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.

Summing 1 to n by pairing the ends: the total is n(n+1)/2

탐색하기

Sₙ = Σ uₖ

항을 하나씩 더하면 부분합이 극한값으로 수렴해 갑니다.

연습

Σr = ½n(n+1)를 사용하여, 첫 5개의 정수의 합은?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1)를 사용하여, 첫 3개의 제곱수의 합은?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

Σr³ = ¼n²(n+1)²를 사용하여, 첫 3개의 세제곱수의 합은?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

표준 결과를 완성하시오: Σr (from 1 to n) = ______ n(n+1).

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

English

Splitting sums

Split a sum into standard pieces:
$\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.

Watch out

$\sum r^3 = (\sum r)^2$. This beautiful identity means the sum of cubes equals the square of the sum of the first $n$ integers. It's easy to verify: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.

연습

Σ(2r+1) in r=1 to n = n(n+2). n=4일 때 합을 구하시오.

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

English

The method of differences 差分法

If each term is $f(r) - f(r+1)$, almost everything cancels (telescopes 裂项相消).
From the sum to $n$ terms you can see if a series converges 收敛 and find its sum to infinity 无穷和.

연습

차분법에서 각 항이 f(r) − f(r+1) 형태라면, 대부분의 항이 소거됩니다(테스코핑).

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

Σ 1/(r(r+1)) in r=1 to ∞은 telescoping하여 1 − 1/(n+1)가 됩니다. n→∞일 때 무한합은?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

English

Worked example — method of differences

Find $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
Partial fractions 部分分式: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
Sum telescopes: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
As $n \to \infty$: sum to infinity $= 1$.
A series is convergent when its sum to $n$ terms approaches a limit.

English

You've got it

Key idea

$\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
split sums into standard pieces
method of differences telescopes $f(r) - f(r+1)$