| English | 의미 |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 다항식 |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | 수직 점근선 |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | 비수직 점근선 |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 분모 |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 유한함수 |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 나머지 |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | 商 |
규칙을 깨는 그래프
- 당신이 Encounter한 대부분의 함수는 다항식(polynomial)이다: 매끄럽고 연속적이며 정의역이 전역이다. 그러나 한 다항식을 다른 다항식으로 나누면 훨씬 복잡해진다: 수직 점근선, 비수직 점근선, 분모의 영점 근처에서의 급격한 변화 등.
- 유리함수(rational function) 는 더 복잡한 곡선을 이해하기 위한 관문이다.
유리함수는 무엇인가?
- 유리함수는 두 다항식의 분수 형태인 $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$이다.
- 분모의 영점은 수직 점근선을 형성하며 (함수가 $\pm\infty$로 발산하는 지점).
풀이 예시. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}$. 수직 점근선은 $x = 2$에 위치한다. 나누기 연산 결과: $f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x-2}$. 비수직 점근선은 $y = x + 2$이다.
유함수
y = a/(x − b) + c
유함수는 곡선이 접근하지만 절대 닿지 않는 점근선을 가집니다.
유함수는 두 다항식의 분수입니다.
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그것은 정의입니다 — 하나의 다항식을 다른 다항식으로 나눈 것입니다.
비수직(사선) 점근선
- 분자의 차수(degree) 가 분모보다 클 때 그래프는 비수직(사선) 점근선을 가지며, 이는 다항식 장除法(long division)으로 구할 수 있다.
- 나머지 항은 $x \to \infty$로 갈 때 사라지고,商(quotient)만이 점근선이 된다.
곡선은 원점에서 멀어질수록 수직 점근선 x = 2와 비수직 점근선 y = x + 2에 밀착한다.
나머지를 잊지 마라. 나누기 연산 시 함수는商 -plus- 분모로 나누어진 나머지 항과 같다. 점근선은 오직商이며, 나머지는 곡선이 점근선의 어느 쪽에서 접근하는지를 알려준다.
유함수의 분자가 분모보다:
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분자의 차수가 분모의 차수를 초과하면, 나눈 결과로 남는部分是 곡선이 접근하는 사선입니다.
사선 점근선을 구하는 방법은:
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다항식 나눗셈은 원점에서 먼 곳에서 곡선이 접근하는 직선 부분을 제공합니다.
f(x) = (x²−1)/(x−2)일 때, 나누어 f(x) = x + 2 + 3/(x−2)를 얻습니다. 사선 점근선은 y = x + ?입니다.
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나머지는 x + 2이므로, 사선 점근선은 y = x + 2입니다.
관련 그래프
- $y = f(x)$를 다음에 대해 설명할 수 있어야 합니다:
- $y^2 = f(x)$ — $f(x) \geq 0$가 존재하는 곳에만 존재하며, $x$축에 대해 대칭입니다.
- $y = \dfrac{1}{f(x)}$ — 영점(zeros)이 점근선(asymptotes)이 되고, 점근선이 영점이 됩니다.
- $y = |f(x)|$ — $x$축 아래에 있는 음의 부분을 위쪽으로 반사합니다.
- $y = f(|x|)$ — 우측 반을 좌측으로 반사합니다.
y = 1/f(x)일 때, f(x)의 영점은 수직 점근선이 됩니다.
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f(x) = 0인 지점에서 1/f(x)는 정의되지 않아 수직 점근선이 형성됩니다.
y = |f(x)|의 그래프는 y = f(x)로부터 다음을 통해 얻어집니다:
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절댓값은 x축 아래쪽의 모든 부분을 위로 반사시킵니다.
풀이 예제 — $y = \dfrac{1}{f(x)}$ 도식하기
- $f(x) = x^2 - 4$ (근이 $\pm 2$, 최솟값이 $(0, -4)$인 경우):
- $\dfrac{1}{f(x)}$은 $x = \pm 2$에서 수직 점근선을 가집니다.
- $f$의 $-4$에서의 최솟값은 $\dfrac{1}{f}$의 $-\dfrac{1}{4}$에서의 국소 최댓값이 됩니다.
- **판별식(discriminant)**과 **변위점(turning points)**을 사용하여有理函数의 값의 범위를 구합니다.
이해했습니다
- 有理函数 = 다항식 ÷ 다항식
- 상수항 차수가 분모보다 클 때 → **비수직 점근선(oblique asymptote)**이 존재하며(나눗셈으로 구함)
- 관련 그래프를 숙지하십시오: $y^2 = f$, $1/f$, $|f|$, $f(|x|)$