범위 및 전제 조건
디지털 SAT 체계에 기반함. 이러한 종이 과제는 적응형이 아니며scaled score를 예측하지 않습니다.
- 면적, 부피 및 비례성 활용
- 직각삼각비와 피타고라스 정리의 적용
- 원의 방정식, 호(ho) 및 각도 관계 활용
필요 지식: 삼각형 내각의 합; 피타고라스 정리; 길이/면적/부피 단위.
방법 설명 및 선택
비례성은 대응각과 변의 비율을 유지합니다. 면적은 k²배, 부피는 k³배로 scaling됩니다.
직각삼각형에서 sin은 대변/외변, cos은 인접변/외변, tan은 대변/인접변입니다.
중심이 (h,k)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x−h)²+(y−k)²=r²입니다.
한 바퀴 도는 각도는 360° 또는 2π 라디안입니다. 호의 길이는 rθ이지만, θ가 라디안일 때만 성립합니다.
확대축 $k$이 모든 대응 길이를 변경합니다. 비례 형상에 대한 $A_2=k^2A_1$ 및 $V_2=k^3V_1$. $k=3/2$ 및 $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$라면, $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$입니다. 단 one dimension만 변경하는 것은 이러한 비례 규칙을 정당화하지 않습니다.
풀이 예제. 직각삼각형의 두 가지는 6과 8이다. c²=6²+8²=100, 따라서 c=10이다. 6의 대각에 대한 sin θ=6/10=0.6이다. 비를 3배로 확대하면 면적은 원래의 아홉 배가 된다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
이 개요는 기술들을 소개한다. 각 기술에는 자체 워크시트와 연습지가 있다: 18과 19. 이 순서대로 진행하라.
연습 1
비례 용기의 표면적은 각각 96과 216제곱센티미터입니다. 작은 용기의 부피는 160세제곱센티미터입니다. 큰 용기의 부피를 구하십시오.
추론. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. 부피는 세제곱을 사용해야 한다: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. 면적 비를 직접 사용하면 잘못된 부피가 나온다.
연습 2
직각삼각형의 빗변이 13cm, 한 변이 5cm이다. 나머지 변, 삼각형의 넓이, 그리고 5cm 변에 맞은편 각의 사인값을 구하시오.
추론. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
연습 3
삼각형의 두 내각이 각각 42°과 73°일 때, 나머지 한 각과 그 인접한 외각을 구하시오. 또한, 이 두 각만으로 모든 변의 길이를 결정할 수 있는가?
추론. 세 번째 각은 $180-42-73=65$도이다. 그 외접각은 $180-65=115$도이며, 또한 $42+73$이다. 각은 모양을 결정하지만 크기를 결정하지 않으며, 닮은 삼각형은 서로 다른 변 길이를 가질 수 있다.
연습 4
두 평행선이 한 직선에 의해 절개됩니다. 한 쌍의 대응각이 68°일 때, 이에 대응하는 다른 대응각과 두 번째 직선 위의 인접한 각을 구하십시오. 각 단계마다 주어진 조건이 이를 정당화하는 이유를 설명하십시오.
추론. 평행선에 의한 동위각은 68°입니다. 인접한 각은 직각을 이루므로, 다른 한 각은 180°−68°=112°입니다. 동일한 동위각이 성립하려면 주어진 평행선이 필수적이며, 직각의 합은 한 직선 위의 인접성을 기반으로 합니다. 평행성이 없는 유사한 도식만으로는 첫 번째 등식이 정당화되지 않습니다.
한계 및 향후 활용법
Radius and diameter differ by a factor of two. Using diameter in πr² makes the area four times too large.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.