범위 및 전제 조건
디지털 SAT 체계에 기반함. 이러한 종이 과제는 적응형이 아니며scaled score를 예측하지 않습니다.
- 완전제방식을 통해 원의 중심과 반지름 찾기
- 중심각을 변환하고 호 길이 弧长과 부원 면적을 계산하기
- 접선 切线, 원주각 및 단위원의 관계 활용하기
선행 지식: 완전제방식; 반지름; 라디안; 직각삼각비.
방법 설명 및 선택
중심 (h,k)이고 반지름 r인 원은 (x-h)²+(y-k)²=r²를 만족한다. 전개된 방정식의 경우 x와 y에 대해 완전제방식을 하고 균형을 맞추는 상수를 다른 쪽에 더해야 한다. 실수 비퇴화 원이 되려면 우변은 양수여야 한다. 반지름은 그 제곱과 구분하여 유지하라.
라디안 θ인 중심각은 호의 길이 rθ와 초부면적 r²θ/2을 제공한다. 도법에서는 전체 둘레나 면적의 θ/360 분율을 사용한다. 완전 회전은 2π 라디안=360°이다. 공식 rθ와 r²θ/2은 라디안을 요구하므로, 변환 없이 도법을 삽입하면错误的인 비례가 된다.
원 위의 점에서의 접선은 해당점의 반지름과 수직이다. 원주각은 동일한 호를 바라보는 중심각의 절반이며, 지름을 바라보는 각은 직각이다. 이러한 명제를 적용하기 전에 실제 공유되는 호와 중심을 식별하라. 현은 접선이 아니며 추가 조건이 정해지지 않으면 반지름과 수직일 필요는 없다.
단위 원 위에서 각 θ인 점은 좌표 (cos θ,sin θ)를 가지므로 cos²θ+sin²θ=1이다. 부호는 사분면에 따라 다르다. 예각互补각에 대해서는 sin θ=cos(90°-θ)이다. 정확한 값을 위해 특수 삼각형을 사용하라: 30°에서 사인은 1/2이고 코사인은 √3/2이며, 45°에서는 두 값 모두 √2/2이다.
원 방정식 圆方程의 완전제곱식을 완성하기 $x^2+y^2+6x-8y=0$이(가) $(x+3)^2+(y-4)^2=25$이(가) 된다. 중심은 $(-3,4)$이고 반지름은 5이다. 호 길이는 라디안 弧度 각도 $\theta$일 때만 $s=r\theta$이다.
Worked example. x²+y²-4x+6y-12=0 becomes (x-2)²+(y+3)²=25, giving centre (2,-3), radius 5. For radius 6 and central angle π/3, arc length is 2π and sector area 6π. An inscribed angle on that same 60° arc is 30°. At 150°, cosine is -√3/2 and sine 1/2 because the point is in quadrant II.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
$x^2+y^2-8x+2y+8=0$의 중심과 반지름을 구하십시오. $(7,-1)$이 원 위에 있습니까?
추론. 완전제곱식을 만들어 $(x-4)^2+(y+1)^2=9$을 얻습니다. 중심이 $(4,-1)$, 반지름이 3입니다. $(7,-1)$을 대입하면 $3^2+0^2=9$이 되므로, 원 위에 있습니다.
연습 2
한 부채꼴의 반지름은 8 cm이고 각도는 135°입니다. 이 각도를 라디안 단위로 변환하고, 호의 길이와 면적을 구하십시오. 원 위의 다른 곳에서 이 동일한 호를 바라보는 원주각을 구하십시오.
추론. $\theta=135\pi/180=3\pi/4$ 라디안입니다. $s=r\theta=(8\,\mathrm{cm})(3\pi/4)=6\pi\,\mathrm{cm}$입니다. $A=r^2\theta/2=(8\,\mathrm{cm})^2(3\pi/4)/2=24\pi\,\mathrm{cm^2}$입니다. 원주각은 중심각의 절반입니다: 67.5도입니다.
연습 3
A unit-circle point is in quadrant III and has $y=-1/2$. Find its $x$-coordinate and one angle between 0° and 360°.
Reasoning. $x^2+y^2=1$ gives $x^2=3/4$. Quadrant III requires $x<0$, so $x=-\sqrt3/2$. The point is at 210 degrees, with reference angle 30 degrees.
한계 및 향후 활용법
공식을 적용하기 전 각도/라디안 단위, 중심의 부호, 그리고 각도가 중심각인지 내접각인지 확인할 것.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.