범위 및 전제 조건
디지털 SAT 체계에 기반함. 이러한 종이 과제는 적응형이 아니며scaled score를 예측하지 않습니다.
- 맥락 내에서 fitting 모델의 기울기와 절편을 해석하십시오
- 잔差(residual)를 계산하고 내법(interpolation)과 외법(extrapolation)을 구분하십시오
- 등간격 데이터에서 선형 또는 지수 패턴을 선택하십시오
필요 지식: 선형 함수; 부호 있는 뺄셈; 산점도 레이블.
방법 설명 및 선택
산점도는 두 양변수 변수를 쌍으로 매핑하며, 각 쌍에 대한 관측값마다 한 점씩 표시합니다. 적합된 직선은 각 점을 연결하는 것이 아니라 추세를 요약합니다. 모델 y=a+bx에서 b는 x가 1단위 증가할 때 y의 변화량을 예측하며, 그 단위는 'x 단위당 y 단위'입니다. 절편 a는 x=0일 때 y를 예측하며, 이는 데이터 범위 밖에 있을 수 있습니다.
잔차는 관측 y에서 예측 y를 뺀 값입니다. 양수는 관측치가 모델 위, 음수는 아래에 있음을 의미합니다. 빼기 전에 관측 x를 모델에 대입해야 합니다. 큰 잔차는 해당 점에 대한 예측이 나쁨을 나타낼 뿐, 측정 오류나 추세 부재의 증거가 되지는 않습니다.
내추는 관측 x 범위 내에서 예측하고, 외추는 범위를 벗어납니다. 관계가 변할 수 있으므로 더 신중해야 하며, 모델의 대수적 형태뿐만 아니라 맥락적 영역도 고려해야 합니다. 예를 들어, 부정당한 외추임을 보여주는 predicted travel time이 음수인 것은 물리적으로 가능한 결과가 아닙니다.
입력 간격이 일정할 때 출력 차이가 거의 일정하다면 선형 모델을, 출력 비율이 거의 일정하다면 지수 모델을 시사합니다. 산란으로 인해 어떤 패턴도 근사적으로 보일 수 있습니다. 상관관계는 인과관계를 나타내지 않으며, 두 변수가 제3의 요인을 반영할 수 있습니다. 적합된 추세는 예측에 대한 증거일 뿐, 단독으로 중재 효과를 의미하지는 않습니다.
잔차는 관측된 값에서 예측된 값을 뺀 값입니다. 여행 모델 $T=5+2d$은 $T$에 분, $d$에 킬로미터를 사용합니다. $T(4)=5\,\mathrm{min}+(2\,\mathrm{min/km})(4\,\mathrm{km})=13\,\mathrm{min}$. 관측 시간 16분일 때, $e=T_{obs}-T_{pred}=16\,\mathrm{min}-13\,\mathrm{min}=3\,\mathrm{min}$입니다.
해설 예시. 공부 시간 x시간과 예측 실기 점수 y=12+3x에서 기울기는 3점/시간입니다. x=2일 때 예측값은 18입니다. 관측 점수가 21라면 잔차(residual)=21-18=3입니다. x값이 1부터 5까지 관측되었으므로, x=3에서의 예측은 내삽(interpolation)이고 x=12에서의 예측은 외삽(extrapolation)입니다. 등간격 입력에서 출력 5,10,20,40이 나타나는 것은 배율 2의 지수 성장을 시사합니다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
적합된 배송 모델은 관측 거리 2–10 km에 대해 $T=8+1.5d$분입니다. 두 모수를 해석하십시오. 거리 6 km에서 관측 시간은 15분입니다. 해당 잔차를 구하십시오.
해설. 절편은 거리 0에서 8분을 예측하지만, 0은 관측 범위 밖에 있으므로 이 해석은 외추법에 해당합니다. 기울기는 킬로미터당 추가로 1.5분을 예측합니다. $T(6)=8\,\mathrm{min}+(1.5\,\mathrm{min/km})(6\,\mathrm{km})=17\,\mathrm{min}$. 잔차는 $e=15\,\mathrm{min}-17\,\mathrm{min}=-2\,\mathrm{min}$이며, 직선 아래에 위치합니다.
연습 2
예측 요청은 거리 7 km와 20 km에서 이루어졌습니다. 각각을 분류하고, 적합된 기울기가 거리만으로 모든 시간 변동의 원인이 아님을 설명하십시오.
추론. 7은 2–10 사이에 있으므로 내삽입니다. 20은 범위를 벗어나므로 지지력이 약한 외삽입니다. 교통, 적재량 등의 조건은 시간에 영향을 미칠 수 있으며, fitting된 관계는 이들 요인의 효과를 단일화하지 못합니다.
연습 3
등간격 입력 0,1,2,3에서 출력이 6,18,54,162입니다. 간단한 선형 또는 지수 규칙을 선택하고, ⟨4⟩에서의 예측값을 제시하되 가정을 명시하십시오.
해설. 비율은 모두 3인데 반해 차이는 일정하지 않습니다. 지수 규칙은 $y=6(3)^x$입니다. continued factor-three growth 하에서, $y(4)=6(3)^4=486$입니다. 이는 모델 기반의 외추법이지, 다음 관측값이 보장되는 것은 아닙니다.
한계 및 향후 활용법
관측값 minus 예측값 순서를 유지하십시오. 모델의 기울인을 인과적 치료 효과로 변형하지 마십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.