A.3 · Groups, cosets and quotient maps

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 군의 공리, 함수, 정수 나눈 값 및 순열.

• 군 구조를 검증하고 원소의 순위와 부분군 인자를 계산하십시오
• 커널과 상을 사용하여 준군을 식별하십시오
• 정규 부분군과 임의의 부분구를 구분하십시오
• 순환 형태에 따라 순열의 켤레류를 분류하십시오

coset: A translate of a subgroup that forms one part of the coset partition.

정규 부분구: 모든 군 원소에 대한 켤레 연산에 불변인 부분구입니다.

순서를 계산하기 전에 주어진 연산 하에서 모든 원소에 대해 폐합성, 결합법칙, 항등원, 역원을 확인하십시오. 부분집합은 결합법칙을 계승할 수 있으나 폐합성이 깨지거나 항등원이 결여될 수 있습니다. 유한군에서 원소의 순서는 항등원을 주는 최소 양수 지수입니다. 가법군 Z/nZ에서 이는 영을 주는 최소 양수 배수이며, 잔차 a의 순서는 n/gcd(a,n)입니다. Lagrange 정리는 부분군의 순수가 군의 순수를 나눈다고 합니다. 역정리는 일반적으로 존재 정리가 아니며, 군의 순수는 각 원소의 순수가 아닙니다.

좌편류 gH는 부분구 H의 이동입니다. 편류는 동일한 크기를 가지며 군을 분할하므로, 유한군에서 인자는 |G|/|H|입니다. 가법군에서는 g+H로 표기합니다. 같은 편류에 속한다는 것은 차분이 H에 속함을 의미합니다. 편류는 일반적으로 항등원을 포함하지 않으므로 부분구 자체가 아닙니다.

동형사상은 연산을 보존합니다. 커널은 항등원으로 매핑되는 원소들의 집합이며, 상은 실제로 도달한 값들의 집합입니다. 모든 커널은 정규입니다. 제1 등가정리는 G/ker(phi)를 im(phi)와 동일시하며, 사상이 전사일 때까지 상을 전체 코도메인으로 대체해서는 안 됩니다.

준군 곱셈은 H가 정규일 때만 잘 정의됩니다. 가법군의 모든 부분구는 정규입니다. 비가환군에서는 gHg^−1=H를 검증하십시오. 인자가 2인 부분구는 정규입니다. 순열은 제시된 관례에 따라 합성하되, 여기서는 가장 오른쪽을 먼저 적용합니다. 불교환 순환 길이는 최소공배수를 통해 순열의 순위를 결정합니다. 켤레 연산 hσh⁻¹은 σ의 순환 속 원소들을 재표기하므로 순환 길이를 보존합니다. 반대로 같은 순환 길이를 가진 순열들은 재표기를 통해 서로 연결될 수 있습니다. 따라서 S_n에서의 켤레류는 n의 분할, 고정점 순환을 포함하여 대응합니다. S4에서 유형은 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 및 4입니다: 이는 가능한 각 원소 순위에 대한 하나의 클래스가 아니라 5개의 클래스입니다. 유형 2+1+1과 2+2은 모두 순위가 2이지만 켤레가 아닙니다.

Z/12Z에서 Z/3Z로 잔차를 3에 대해 줄여 정의되는 phi를 정의하십시오. 이는 전사이며 덧셈을 보존합니다. 커널 H는 {0,3,6,9}이므로 |H|=4이고 색인은 12/4=3입니다. 다른 좌좌식은 {1,4,7,10}와 {2,5,8,11}입니다. 따라서 (Z/12Z)/H는 Z/3Z와 등각입니다. 원래 군의 원소 3의 순환은 12/gcd(3,12)=4이며, 3가 아닙니다.

나머지 집합은 각 코셋에 대해 한 개의 요소를 가지며, 가해의 각 요소마다 한 개의 요소를 갖는 것이 아닙니다. 동형사상은 명시된 공역으로 전사일 필요는 없습니다.

In the additive group $\mathbb Z/18\mathbb Z$, let $H=\langle6\rangle$. List H and its cosets. Determine the order of 6 and identify the quotient.

풀이 과정

$H=\{0,6,12\}$ has size three. The six cosets are $r+H=\{r,r+6,r+12\}$ for $r=0,1,2,3,4,5$. They partition all 18 residues. The element 6 has order three, while the quotient has order six. Reduction modulo six is onto with kernel H, so $(\mathbb Z/18\mathbb Z)/H\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. Normality holds because the original group is abelian.

$S_3$에서 $H=\{e,(12)\}$이라 하자. $H$이 normal인지 확인하고, 코셋 곱셈이 quotient 군을 정의하는지 결정하라. 별개로 $(123)(45)$의 순서를 $S_5$ 내에서 구하라.

시도 후 확인

Conjugation by $(123)$ sends $(12)$ to $(23)$, which is outside H. Thus H is not normal. Left cosets still partition $S_3$, but multiplication of those cosets is not well defined independently of representatives. The disjoint cycles in $(123)(45)$ have lengths three and two, so its order is $\operatorname{lcm}(3,2)=6$. Element order and subgroup index are different quantities.