C.3 · Differential equations and initial conditions

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

전공 지식: 미분, 적분, 지수함수 및 이차 방정식.

• 분리 가능한 1차 미분방정식 풀기
• 상수계 2차 미분방정식 풀기
• 초기 조건 및 유일성 조건 활용

초기 조건(initial condition): 시작점에서 지정된 해 또는 도함수의 값.

특징근(characteristic root): 지수 해를 지배하는 다항식의 근.

y′=ky에 대해 분리와 적분하면 y=Ce^(kt)를 얻습니다. y로 나누는 과정에서 0 해를 회복해야 합니다. 초기 값은 C를 결정합니다.

선형 2차 상수계 미분방정식은 특징다항식을 사용합니다. 서로 다른 근은 지수해를 주며, 중근은 (C1+C2t)e^(rt) 형태를 필요로 합니다.

복소근 α±iβ는 e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt)를 산출합니다. 실수 운동은 진폭과 위상 정보를 모두 포함합니다.

해의 존재와 유일성은 초기점 근처의 가정에 따라 결정됩니다. 특이 계수나 국소 리피츠 조건 위반은 통상의 유일성 결론을 무효화할 수 있습니다.

y″+4y=0를 y(0)=3 및 y′(0)=4 조건 하에 풉니다. 특성근은 ±2i이므로 y=A cos2t+B sin2t입니다. 첫 번째 조건은 A=3을 줍니다. 미분하면 y′(0)=2B=4이므로 B=2입니다.

중근인 특성근에는 인자 t가 필요합니다. 같은 지수함수의 두 개는 선형 독립인 해가 아닙니다.

$y''-4y'+4y=0$를 $y(0)=1$, $y'(0)=0$로 풀이하십시오. 두 초기조건과 방정식을 모두 확인하십시오.

풀이 과정

특성 다항식은 $(r-2)^2$이다. 선형 독립 해는 $e^{2t}$과 $te^{2t}$이므로, hence $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$이다. 초기값은 $C_1=1$을 주며, 0에서의 도함수는 $2C_1+C_2=0$을 주어, so $C_2=-2$이다.

초기값 문제 $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$가 $t\ge0$에 대해 해가 하나보다 많음을 보여주십시오. 누락된 표준 유일성 가정을 식별하십시오.

시도 후 확인

하나의 해는 영함수입니다. 임의의 $a\ge0$에 대해, $y_a(t)=0$를 $0\le t\le a$에, $y_a(t)=(t-a)^2$를 $t>a$에 설정하십시오. 도함수는 첫 번째 구간에서 0이고 두 번째 구간에서는 $2(t-a)$이며, 양변 모두 a에서 도함수가 0입니다. 따라서 $y_a$은 미분 가능하며, 방정식과 초기값을 만족합니다. 우변은 연속이지만 0에서 y에 대해 국소 리피시츠 조건을 만족하지 않습니다: $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$는 무한대입니다. 존재성이 유일성을 보장하지 않으며, $\sqrt y$으로 나누면 대기 시간 해를 잃게 됩니다.