T.3 · Complex analysis and residues

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 학습 과목: 복소 연산, 편미분, 급수 및 방향성 경로.

• 복소 미분 가능성 테스트
• 경로 적분과 유 residues 사용
• 단순 및 고차 극의 residues를 이용한 경로 적분 평가

해석적: 근방 전체에서 복소 미분 가능함.

잔수(residue): 로랑 급수에서 (z−a)^−1의 계수.

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)라고 합시다. 복소 미분 가능성은 u_x=v_y 및 u_y=−v_x를 요구하며, 국소적으로 일계 편미분이 연속이면 코시-리만 방정식이 해당 영역에서의 해석성을 보장합니다. 이는 두 좌표 함수의 실수 미분 가능성과 다릅니다. 켤레함수 x−iy는 모든 열린 근방에서 이 방정식을 만족하지 않지만 실수 편미분은 존재합니다. 확인하는 영역을 명시하고, 단순히 편리한 점만을 언급해서는 안 됩니다.

An analytic function is complex differentiable throughout a neighbourhood and has a local convergent power series. A removable singularity can be filled analytically when the function is bounded near the missing point. A pole has a finite principal part in its Laurent series; an essential singularity has infinitely many negative-power terms. The residue is the coefficient of (z−a)⁻¹, not necessarily the leading or largest negative-power term.

m차 고립 극에 대해 f(z)=g(z)/(z−a)^m로 쓸 수 있으며, 여기서 g는 a에서 해석적입니다. 잔수는 g^(m−1)(a)/(m−1)!입니다. 단순극에서는 g(a)를, 이중극에서는 g′(a)를 사용합니다. 이는 g를 테일러 급수로 전개함으로써 유도됩니다. 따라서 e^z/(z−a)²의 잔수는 e^a이지만, 순수 이중극 위에 상수 분자가 있는 경우 잔수는 0입니다. 극의 차수만으로 contour 적분을 결정할 수 없습니다.

양방향으로 회전하는 contour가 고립된 특이점을 포함할 때, 잔수 정리(residue theorem)에 의해 ∮f(z)dz=2πi × (포함된 잔수의 합)가 성립합니다. 단, 함수가 contour 위와 필요한 내부 영역의 다른 곳에서는 해석적이어야 합니다. 회전을 반대로 하면 부호가 바뀝니다. 코시의 미분 공식은 ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m!입니다. contour 위에 특이점이 있으면 직접 적용할 수 없으며, contour 외부의 특이점은 이 contour 적분에는 기여하지 않습니다.

f(z)=conjugate(z)인 경우, u=x이고 v=−y입니다. 따라서 u_x=1이지만 v_y=−1이므로 f는 복소 미분 불가능합니다. 1/(z−2)에 대해, 양의 방향의 원 |z−2|=1은 유residue가 1인 단순 극점을 포함하므로, 적분값은 2πi입니다.

연속성이나 실수 미분 가능성만으로는 복소 해석성을 보장하지 않습니다.

코시-리만 방정식을 사용하여 $z^2$과 $\overline z$를 비교하십시오. $e^z/z^2$의 원점에서의 잔수와 반시계 방향 단위 원 주위의 적분을 구하십시오.

풀이 과정

$z^2$, $u=x^2-y^2$ 및 $v=2xy$에 대해: $u_x=2x=v_y$과 $u_y=-2y=-v_x$. 편미분은 어디에서나 연속적이므로 함수는 어디에서나 해석적이다. $\overline z$, $u=x,v=-y$ 및 $u_x=1\ne-1=v_y$에 대해서는 어디에서도 복소 미분 가능하지 않다. $e^z=1+z+z^2/2+\cdots$이므로, $e^z/z^2$의 $z^{-1}$의 계수는 1입니다. 따라서 잔수는 1이고 적분 값은 $2\pi i$입니다. 이중극이 제로 잔수를 강제하지는 않습니다.

Integrate $1/[z(z-2)]$ around $|z|=1$, first counterclockwise and then clockwise. Can the same residue-theorem argument be used on $|z|=2$?

시도 후 확인

단위 원 안에는 0만 있습니다. 그 잔수는 $\lim_{z\to0}1/(z-2)=-1/2$입니다. 따라서 반시계 방향 적분은 $-\pi i$이고 시계 방향 적분은 $\pi i$입니다. 2에 있는 극은 외부에 있으므로 기여하지 않습니다. 원 $|z|=2$이 극을 지납니다. 이 공식에 의한 통상적인 contour 적분은 정의되지 않으며, 정리는 contour에서의 해석성을 요구합니다. indentation이나 주요 값(principal-value) 규정은 별개의, 명시적으로 지정된 문제가 될 것입니다.