A.2 · Abstract algebra and number theory

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 학습 과목: 정수 연산, 집합, 함수 및 반례를 통한 증명.

• 군, 아군, 동형 사상 및 quotient 구조 활용
• 환, 정역 및 체의 차이점 파악
• 나머지, 합동식 및 초급 정론법 적용

동형 사상(homomorphism): 해당 연산을 보존하는 사상입니다.

체(field): 비영 원소가 역원을 가지는 가환 환입니다.

군은 닫힘, 결합법칙, 단원 및 역원을 가져야 합니다. 가환성은 추가 조건입니다.

동형 사상은 연산을 보존합니다. 그 핵(kernel)은 정규 아군이며, 단원으로 매핑되는 원소들을 식별합니다.

체는 모든 비영 원소에 대한 나눗셈을 허용합니다. 정수는 환을 이루지만 체는 아닙니다.

나머지 n에 대한 합동식을 다루십시오. 잔차 a가 곱역원을 가지는 것은 gcd(a,n)=1일 때 한정됩니다.

Modulo 8, 3 has inverse 3 because 3·3=9≡1. But 2 has no inverse because gcd(2,8)=2. Modulo a prime, every nonzero residue has an inverse; this gives a finite field.

모듈러 방정식에서 인수를 소거하기 전에 해당 인수가 역원인지 확인하지 마십시오.

$\mathbb Z/5\mathbb Z$과 $\mathbb Z/6\mathbb Z$의 가법적 군과 곱셈적 구조를 비교하십시오. 각에서의 모든 곱역원을 나열하십시오. 왜 영을 제거한다고 해서 항상 곱역군을 남기는 것이 아닌지 설명하십시오.

풀이 과정

모든 완전 잔차계는 가법적 군입니다: 닫힘, 결합법칙, 단원은 정수 덧셈으로부터 come하며, $-a$은 가역원입니다. 곱역 잔차는 몰수와의 최대공약수가 하나일 때 정확히 unit입니다. 5에 대한 곱역은 $1,2,3,4$; 6에 대한 곱역은 $1,5$입니다. 6에 대해, $2\cdot3=0$이지만 두 인자 모두 비영입니다. 비영 집합은 곱법에 대해 닫혀있지도 않습니다. 5에 대해 모든 비영 잔차는 역원을 가지며, 이 환은 체입니다. 환, 가법적 군, 그리고 곱역군의 group은 서로 다른 구조입니다.

감소 사상 $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$은 $\phi(n)=[n]$에 의해 주어집니다. 그 핵, 상 및 quotient를 구하십시오. $2x\equiv2\pmod6$를 완전히 풀고, 왜 modulo 6에서 2을 소거하는 것이 실패하는지 설명하십시오.

시도 후 확인

이 사상은 덧셈과 곱셈을 보존합니다. 그 핵은 $6\mathbb Z$이고 상은 여섯 잔차 전체입니다. quotient는 같은 나머지를 가진 정수를 식별하므로, $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$입니다. The congruence means $6\mid2(x-1)$, equivalently $3\mid x-1$. Hence $x\equiv1\pmod3$, giving residues $1$ and $4$ modulo six. Both substitute correctly. Cancelling 2 while retaining modulus six would discard 4; 2 has no multiplicative inverse there.