T.12 · Metric completeness and closure from a basis

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행지식: 거리 공리, 코시 수열 및 기저로부터의 위상수학.

• 정의하는 사상의 성질을 이용하여 당김 거리(pullback metric)를 검증합니다.
• 등거리 사상(isometry)의 상을 통해 완비성을 판단합니다.
• 유클리드 직관 대신 모든 기본 근방을 사용하여 폐포를 결정합니다.

완비 거리 공간: 모든 코시 수열이 해당 공간의 한 점으로 수렴하는 거리 공간.

근방 기저: 국소 위상적 성질을 검증하는 데 충분한 기본 근방들의 집합.

함수 h:X→R가 단사(injective)일 때, d(x,y)=|h(x)−h(y)|는 거리입니다. 대칭성과 삼각 부등식은 R에서 유래하며, 단사성은 d(x,y)=0인 경우 오직 x=y일 때에만 성립함을 보장합니다. 사상이 h는 그 상 h(X) 위에서 등거리 사상입니다. h가 단사가 아니면 이 구성은 오직 준거리(pseudometric)일 뿐일 수 있습니다. 거리가 유계라는 것은 공간이 완비임을 의미하지 않으며, 동일한 점집합이라도 다른 거리에 따라 코시 수열로서의 거동은 크게 달라질 수 있습니다.

당김 거리가 완비하기 위해서는 상 h(X)가 일반적인 실수 거리에서 완비이어야 합니다. R의 닫힌 부분집합은 완비합니다. h(x)=arctan x인 경우, 상은 (−π/2, π/2)이며 양 끝점을 포함하지 않습니다. 수열 n은 당김 거리에서 코시 수열입니다. 왜냐하면 arctan n이 π/2로 수렴하기 때문입니다. 하지만 어떤 실수 x에도 arctan x=π/2을 만족하는 것이 없으므로, 이 거리는 완비가 아닙니다. h(x)=x³인 경우, 상은 전체 R이며 당김 거리는 완비합니다. 위상 동등성만으로는 완비성이 보장되지 않습니다.

기저를 가진 위상수학에서, x가 A의 폐포에 속하려면 x의 모든 기본 열린 근방이 A와 교집합을 가져야 합니다. 이는 membership test(소속 판별)일 뿐, 자동으로 유클리드 끝점 연산을 의미하지는 않습니다. 기저는 공간을 덮어야 하며, 두 기본 집합에 속하는 점에 대해서는 그 교집합 내에 이를 포함하는 더 작은 기본 집합이 존재해야 합니다. 한 점이 단일 원소 집합의 폐포에 속할 수도 있으나, 반드시 그 단일 원소 자체일 필요는 없습니다. 이러한 가능성은 위상에 의존합니다.

X={2,3,4,…} 위에서 기본 집합 U_k={n in X: n divides k} (k≥2)를 취하십시오. x∈U_x이므로 이 집합들은 X를 덮습니다. 교집합은 gcd(k,l)≥2일 때 U_gcd(k,l)이고, 그렇지 않으면 공집합입니다. 점 x가 {n}의 폐포에 속하는 것은 모든 k가 x로 나뉘어질 때 n도 x로 나뉘어야 함과 동치입니다. 즉, n이 x를 나누어야 합니다. 더 직관적으로 말하면, 가장 작은 기본 근방 U_x에 n이 포함되는 것은 n이 x를 나눌 때이며, x를 포함하는 다른 모든 근방에도 이러한 약수가 포함됩니다. 따라서 {8}의 폐포는 8의 양의 배수들로 이루어져 있으며, 8의 약수들이 아닙니다.

d(x,y)=|arctan x−arctan y| 아래에서 정수열은 R의 점이 아닌 누락된 이미지 끝점으로 향하므로, 해당 공간에서는 코시 수열이지만 수렴하지 않습니다. 약수 기저에서 16은 {8}의 폐포에 속합니다. 왜냐하면 16을 포함하는 어떤 기본 집합도 8을 포함하기 때문입니다. 그러나 4은 그렇지 않습니다. U_4={2,4}은 4의 근방이지만 8을 포함하지 않습니다. 이는 배수와 약수를 명시적으로 분리합니다.

A Cauchy limit must belong to the same space. Completeness is a metric property, not just a topological one. For closure, test every neighbourhood of the candidate point, rather than every neighbourhood of the singleton value.

$\mathbb R$ 위에서 $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$과 $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$를 비교하십시오. 이들이 거리임을 증명하고 완비성을 판단하십시오.

풀이 과정

두 정의 사상은 모두 단사이므로 양의 분리성을 제공하며, 절대값 거리는 대칭성과 삼각 부등식을 제공합니다. 각 사상은 실수 상에서 등거리 사상입니다. 큐브 사상의 상은 전체 $\mathbb R$이며, 이는 완비 공간이므로 d1은 완비합니다. 아크탄젠트의 상은 불연간(open interval) $(-\pi/2,\pi/2)$이며, 이는 완비가 아닙니다. 수열 n은 d2-코시 수열입니다. 왜냐하면 arctan n이 pi/2로 수렴하기 때문입니다. 그러나 어떤 실수 점도 그 상이 해당 값이 아니므로, d2-한계가 존재하지 않습니다. 유계한 거리 값은 완비성을 함의하지 않습니다.

$X=\{2,3,4,\ldots\}$ 위에서 약수 기저 $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$을 사용하십시오. $\{6\}$의 폐포와 $\{6\}$의 내부를 구하십시오. 공집합 교집합을 포함한 기저 조건을 확인하십시오.

시도 후 확인

모든 x는 Ux에 속합니다. 교집합은 gcd가 적어도 2일 때 $U_{\gcd(k,l)}$이며, gcd가 1일 때는 공집합입니다. 따라서 교집합에 있는 점은 그 내부에 기본 근방을 가집니다. The smallest basic neighbourhood of x is Ux, contained in every Uk that contains x. It meets {6} exactly when $6\mid x$. Therefore the closure is $\{6,12,18,\ldots\}$, the multiples of six. The point six is not interior to its singleton because U6 also contains two and three. No other point is in that singleton, so its interior is empty. This closure calculation uses all basic neighbourhoods, not Euclidean intuition.