C.12 · Related rates and removable quotient limits

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

필요 행 지식: 연쇄 법칙, 원형 단면 및 극한.

• 기하학적 속도를 해당 물량의 미분으로 변환한다
• 구체 모자 부피 공식을 도출하고 미분한다
• 연속적 분산 확장을 미분 가능 확장과 분리한다

관련율(: related rate): 변화하는 양 사이의 관계식을 미분하여 얻은 속도이다.

제거 가능한 극한(: removable limit): 연속적으로 결손된 함수 값을 채우기 위해 사용되는 유한한 근접 극한이다.

For a quantity V depending on a changing depth h(t), the chain rule gives dV/dt=V′(h) dh/dt. A draining tank has dh/dt<0, so signed dV/dt is negative; an outflow magnitude is its negative. Draw the geometry and name the instantaneous depth before substituting numbers. Do not treat the rate as a static volume divided by elapsed time unless the situation actually specifies a constant average rate.

A spherical tank of radius R has cross-section radius squared R²−(R−h)²=2Rh−h² at depth h from the bottom. Integrating these circular areas gives the cap volume V(h)=π(Rh²−h³/3), for 0≤h≤2R. Its derivative π(2Rh−h²) is the current cross-sectional area. At R=3,h=1,dh/dt=−1/4, signed volume rate is −5π/4 and outflow magnitude 5π/4. The formula works for both shallow and deep caps within the stated range.

If f and g are continuously differentiable near zero, f(0)=g(0)=0 and g′(0)≠0, then f(x)/g(x) tends to f′(0)/g′(0). This follows from f(x)=f′(0)x+o(x) and g(x)=g′(0)x+o(x); continuity of g′ keeps the quotient defined nearby except at zero. Filling in this limit gives a continuous extension. The argument does not require f′(0) nonzero, and it does not prove the extended quotient differentiable.

f(x)=x|x|이고 g(x)=x라면, 두 함수 모두 연속 가미 가능합니다. f(0)=g(0)=0이고 g′(0)=1입니다. x≠0에 대한 Their quotient는 |x|이며, 이는 0에서 연속적으로 확장되지만 양측 미분값이 다릅니다. (f²−f)/(2g−g³)에 대해 인수 분해를 하면 (f/g)(f−1)/(2−g²)이 되며, 이 제거 가능한 극한은 −f′(0)/(2g′(0))입니다. 추가 인수들은 −1과 2로 수렴합니다. 비가역의 극한과 그 확장_CR의 미분값을 구분하십시오.

For a sphere with R=3 and depth h=1, cross-sectional area is π(6−1)=5π. A depth decrease of 1/4 per time unit therefore removes volume at magnitude 5π/4 per time unit. For f(x)=sin(2x),g(x)=3x, the quotient extends at zero with value 2/3. This limit says nothing about the size of a tank and should not be substituted as a derivative rate without identifying the dependent quantities.

총 탱크 표면적이 아닌 순간 단면적을 사용하라. 요청된 대로 부호 있는 볼륨 변화 또는 양의 유출을 보고하라. 유한한 제거 가능한 비율 극한은 채워진 비율의 미분 가능성이 아니라 연속성을 입증한다.

A spherical tank has radius 2 m and water depth h measured from its bottom. Derive V(h). At h=1 m and $dh/dt=-0.1\ \mathrm{m/min}$, find signed volume change and outflow magnitude.

풀이 과정

깊이 s에서 단면 반지름은 $r(s)^2=2Rs-s^2$을 만족한다. 디스크를 적분하면 $V(h)=\pi(Rh^2-h^3/3)$이 되며, 이는 $0\le h\le2R$에 대해 성립한다.

f, g가 0 근방에서 연속 미분 가능하고, $f(0)=g(0)=0$, $f'(0)=4$, $g'(0)=2$라고 가정하자. $(f^2-f)/(2g-g^3)$의 제거 가능한 극한을 구하시오. 이러한 가정이 확장된 분산의 미분 가능성을 함의하는가? 일반적인 함의를 반증하는 반례를 제시하시오.

시도 후 확인

Since g'(0) is nonzero, the denominator is nonzero near zero except at zero. Factor the expression as $(f/g)(f-1)/(2-g^2)$. Its limit is $(4/2)(-1)/2=-1$. First-order differentiability gives $f/g\to f'(0)/g'(0)$; it does not give second-order control. For a counterexample preserving these derivatives, take $f(x)=4x+x|x|$ and $g(x)=2x$. They are continuously differentiable. For nonzero x the quotient becomes $(2+|x|/2)(-1+4x+x|x|)/(2-4x^2)$. Its expansion is $-1+4x-|x|/4+O(x^2)$, giving different one-sided derivatives. Thus the extension is continuous but not differentiable.