A.1 · Linear algebra

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 선형 방정식, 행렬 곱셈, 다항식 및 복소근.

• 선형 시스템의 계수, 영공간 및 해와 관계를 설정
• 벡터 공간 및 선형 변환 분석
• 고유값, 행렬식 및 대각화 조건 계산

계수(rank): 선형 변환의 이미지(image)의 차원.

고유값(eigenvalue): 비영 벡터 v에 대하여 Av=λv를 만족하는 스칼라입니다.

실수 벡터 공간은 지정된 덧셈과 스칼라 곱에 대해 닫혀 있으며, 벡터 공간 공리를 만족합니다. 기저는 독립적인 생성 목록입니다: 모든 벡터는 그 목록에서 유일한 좌표 표현을 가집니다. 행렬 열의 독립성을 테스트하려면 homogeneous 시스템 Ac=0를 풀어야 하며, 오직 제로 계수 벡터일 때에만 독립입니다. 생성 집합은 중복된 벡터를 포함할 수 있으므로, 생성만으로는 기저가 되지 않습니다.

행 감축(row reduction)은 선형 시스템의 해집합을 변경하지 않으면서 피벗(pivot)과 자유 변수(free variables)를 드러냅니다. 계수는 열 이미지의 차원이며, 이는 피벗의 개수와 등가입니다. 영공간의 차원은 kernel의 차원입니다: n차원 도메인에서 정의되는 변환에 대해 rank+nullity=n입니다. 비동방 시스템(zero coefficient row with nonzero right side)에서 제로 계수 행이 nonzero 오른쪽 항을 가지면 일관성이 없습니다; 일관성이 확인된 후 자유 변수는 무한히 많은 해를 제공합니다. 코도메인 codomain의 차원은 반드시 rank와 같지 않을 수 있습니다.

A square matrix is invertible exactly when its determinant is nonzero, its kernel is zero and its rank equals its size. These statements do not require each entry to be nonzero. Triangular determinants are products of diagonal entries, so a matrix depending on a complex variable can be singular at complex roots absent from a real-only calculation. Row swaps reverse determinant sign; adding a multiple of one row to another leaves it unchanged. Check singularity before applying an inverse formula.

An eigenvector is nonzero and satisfies Av=λv, so eigenvalues are roots of det(A−λI). Diagonalisation requires a full independent eigenvector basis over the chosen field. Distinct eigenvalues give independent eigenvectors, while repeated eigenvalues may have too small an eigenspace. A real symmetric matrix has a real orthonormal eigenbasis. A real odd-dimensional matrix has at least one real eigenvalue because its real characteristic polynomial has odd degree; that alone does not imply diagonalisation or all eigenvalues real.

A=[[1,1],[0,1]]의 특성 다항식은 (1−λ)²이다. 고유벡터는 y=0를 만족하므로, 고유공간의 차원은 하나이다. 2×2 행렬을 대각화하려면 두 개의 독립적인 고유벡터가 필요하지만, A는 대각화가 불가능하다.

고윳값의 대수적 중계수는 반드시 그 고유공간의 차원과 일치하지는 않는다.

For $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ with $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$, find bases of the kernel and image. Solve $T(v)=(3,6)$ and $T(v)=(3,7)$.

풀이 과정

두 번째 행이 첫 번째 행의 두 배이므로 계수는 하나입니다. homogeneous 방정식은 $x=-2y-z$을 줍니다.

The two displayed vectors are independent. Every output is $(s,2s)$, and $(1,2)$ occurs; this is an image basis. Rank plus nullity is $1+2=3$, the domain dimension. $(3,6)$에 대해 모든 해는 $(3-2a-b,a,b)$이며, $a,b\in\mathbb R$을 가집니다. $(3,7)$에 대해서는 해가 없는데, 왜냐하면 $7\ne2\cdot3$이기 때문입니다.

Let $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. Determine its eigenvalues, determinant and diagonalisation over $\mathbb R$ and $\mathbb C$. Find $A^n$ for integers $n\ge1$ without repeated multiplication.

시도 후 확인

특성 다항식은 $(2-\lambda)^2$과 $\det A=4$입니다. $(A-2I)v=0$를 풀면 $v_2=0$이 되므로, 두 체 모두에서 고유 공간의 차원은 하나입니다. 두 개의 선형 독립인 고유 벡터가 필요하므로, 이 행렬은 역행렬을 가지지만 어느 체에서도 대각화할 수 없습니다. $A=2I+N$에 $N^2=0$을 대입합니다. 교환 가능한 이항 전개는 오직 두 항만 남깁니다:

이 식에 $A$을 곱하면 $n+1$에 있는 식이 얻어지며, 이는 계수를 독립적으로 검증합니다.