C.11 · Integration by parts, order reversal and symmetry

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

필요 지식: 곱의 법칙, 부적분 한계 및 평면 적분 영역.

• 유효한 경계점 한계를 사용하여 부분적분 환원식 유도
• 적분 영역을 재구성하여 이중적분 순서 반전
• 제거 가능한 경계점 거동을 확인하며 대칭성을 활용

부분적분: 곱의 법칙에서 유래한 경계항이 포함된 적분 항등식.

대칭성: 구간 중점을 기준으로 반사된 점에서의 피적분함수 값 사이의 관계.

Integration by parts comes from the product rule: ∫u dv=uv−∫v du. For definite integrals include the boundary term at both ends. With I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt, choose u=(ln t)^n and dv=dt. For n≥1 the lower boundary vanishes, giving I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). A plus sign would violate the differentiated identity. Keep the same lower limit in a recurrence; changing it changes the constants.

부적분에는 먼저 유한한 경계점에서 항등식을 적용한 후, 남은 적분과 한계 경계를 정당화하십시오. ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π일 때, ∫x²e^(−x²)dx에 대해 u=x, dv=x e^(−x²)dx로 설정하십시오. v=−e^(−x²)/2이고 양 끝에서 x e^(−x²)→0이므로 전체 2차 Template은 √π/2입니다. 우연성에 의해 양의 반직선 Template은 √π/4입니다. 사라진 경계는 모든 부적분에 대한 자동 성질이 아니라 논증의 일부입니다.

∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx의 순서를 반전하려면 삼각형 0≤x≤y≤1을 서술한 후 ∫₀¹integral from 0 to yF(x,y)dx dy로 다시 쓰십시오. 외층 구간과 내층 경계 모두가 바뀝니다; 기호만 swapping하면 영역이 달라집니다. F=e^(y²)일 때 x에 대해 먼저 적분하면 ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2을 얻습니다. 이 컴팩트 삼각형에서의 연속성이 순서 반전을 정당화합니다; 특이점이나 조건부 수렴 경우는 더 신중한 접근이 필요합니다.

[a,b]에서 적분 가능한 함수가 f(a+b−x)=−f(x)를 만족하면, 대칭에 의해 적분값은 자신의 음수, 즉 0이 됩니다. [0,π] 위의 sin(2mx)/sin x에서 양수 정수 m에 대해 대칭 x↦π−x는 분자의 부호를 바꾸고 분모는 유지합니다. 겉보기 상의 경계점 특이점은 제거 가능합니다: 0에서의 한계는 2m, π에서의 한계는 −2m입니다. 대칭성을 인용하기 전에 이러한 한계를 확인하십시오; 소거는 적분 가능성의 대체가 아닙니다.

I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt에 대해, 재귀 공식은 x(ln x)²−2I₁(x)를 주며, I₁(x)=x ln x−x+1입니다. 따라서 I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2입니다. 상수 −2는 I₂(1)=0을 보장합니다. 별도로, 삼각형 e^(y²) 적분을 역으로 하면 내부 x-길이에서 인자 y가 생성됩니다. 이 인자를 제거하면 원래의 난이도가 복원되고 값이 바뀝니다.

부정 부분적분에는 끝점 극한이 필요하다. 순서를 반전하기 전에 영역을 재구성하라. 이상하게 보이는 반사된 피적분함수는 제거 가능한 끝점을 포함하여 모두 적분 가능해야 한다.

순서를 반전하여 $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$을 평가하십시오. 반전 전후의 영역을 서술하십시오. $I_2(x)=\int_1^x(\ln t)^2\,dt$, $x>0$에 대한 공식도 유도하십시오.

풀이 과정

영역은 $0\le x\le y\le1$입니다. 반전된 순서에서는 y가 0부터 1까지, x가 0부터 y까지 변합니다. 컴팩트 삼각형에서의 연속성이 순서 반전을 허용하므로, $\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=(e-1)/2$을 얻습니다. $u=(\ln t)^2$, $dv=dt$에 대한 부분적분으로 $I_2=x(\ln x)^2-2I_1$을 얻는다. $I_1=x\ln x-x+1$이므로,

양정수 m에 대해 $\int_0^{\pi}\sin(2mx)/\sin x\,dx$의 값을 구하시오. 대칭성을 적용하기 전에 경계점 적분 가능 여부를 증명하시오.

시도 후 확인

경계점의 극한은 0에서 2m, π에서 -2m이며, 이는 1차 사인 극한에 의한 것이다. 두 특이점은 모두 제거 가능한(s removable) 것이므로 연속적으로 확장된 피적분식은 적분 가능하다. 반사 $x\mapsto\pi-x$은 분모를 보존하고 분자를 부호 반전시킨다. 적분값은 자신의 음수가 되므로 0이다. 대칭적인 소거는 genuinely divergent 경계점에서는 수렴을 보장할 수 없으며, 제거 가능한 극한들이 필수적이다.