A.7 · LU factorisation and nullity of composed maps

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 행 연산, 삼각계 및 rank-nullity 정리.

• 전진 대입(backward substitution) 및 후진 대입(forward substitution)을 사용하여 인수 분해된 선형 시스템을 풉니다.
• 피벗팅이 필요한 경우 행 치환을 일관되게 적용하십시오.
• 이미지-커널 교집합을 사용하여 합성 함수의 커널 차원을 평가하십시오.

전진 대입(forward substitution): 하삼각계통의 첫 번째 식부터 아래쪽으로 풀이는 것입니다.

nullity(영차원): 선형 변환의 커널(kernel)의 차원입니다.

A factorisation A=LU expresses a square matrix as lower triangular L and upper triangular U. With unit diagonal L, forward substitution is especially simple. An invertible matrix need not admit this form without row exchanges: a zero leading pivot can require a permutation. For PA=LU, solve Ly=Pb, then Ux=y. The permutation acts on the right side as well as the coefficient matrix. Nonzero leading principal pivots justify the usual no-exchange elimination, not invertibility alone.

In Ly=b, compute y from top to bottom, subtracting terms already known; divide by the current diagonal unless it is one. In Ux=y, compute x from bottom to top. For each equation substitute back into the original row as a check. Reusing LU for many right sides avoids repeating the elimination: dense factorisation takes cubic-order work in dimension, while each triangular solve takes quadratic-order work. Exact arithmetic can check small examples; numerical pivoting reduces some roundoff problems but cannot remove inherent ill-conditioning.

B:V→W 및 A:W→Z에 대해 ker B는 ker(A∘B)에 포함되지만, 후자는 더 클 수 있습니다. 추가 벡터는 B에 의해 ker A로 매핑되는 것들입니다. ker(A∘B)로 B를 제한하면, 그 이미지는 im B∩ker A이고 커널은 ker B가 됩니다. 이 제한된 변환에 rank-nullity 정리를 적용하면 dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A)임을 얻습니다. 추가 nullity를 결정하는 것은 A의 전체 커널이 아닌 Intersection(교집합)입니다.

nullity가 A=2, B=3인 R⁶의 자동사상에서 rank B=3이며, 교집합의 차원은 0부터 2까지 변할 수 있습니다. 따라서 A∘B의 nullity는 3부터 5까지 범위입니다. 하한은 공통 중간 공간에 따라 달라집니다: m차원 공간에서 크기가 r과 s인 부분공간들의 교집합 차원은 max(0, r+s−m)와 min(r,s) 사이입니다. AB와 BA가 모두 정의되더라도 합성 순서를 뒤바꾸면 nullity가 변경될 수 있으므로, 이 공식을 적용하기 전에 호환되는 공간을 선택하십시오.

L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], b=(−1,−1,12)라고 할 때, 전방 대입을 통해 y=(−1,1,8)를 구합니다. 후방 대입을 통해 x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, x₁=(−1−(−1)+2)/2=1을 얻습니다. 따라서 x=(1,−1,2)입니다. Ux를 곱하면 y가 나오고, Ly를 곱하면 b가 나와 인수 분해의 순서를 독립적으로 검증할 수 있습니다.

먼저 L로 푼 뒤 U로 푸십시오. PA=LU인 경우 b를 순열해야 합니다. 합성 map의 nullity는 자동으로 두 nullity의 합이 되며, 오직 이미지-커널 교집합만이 nullity B에 추가됩니다.

$L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, $U=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ 및 $b=(5,12)^T$이라고 합시다. LUx=b를 풀고 곱해진 행렬을 통해 검증하십시오. PA=LU일 때 Ax=b를 풀 때 P가 어디에서 작용하는가?

풀이 과정

먼저 Ly=b를 풉니다: $y_1=5$, $2y_1+y_2=12$이므로 $y_2=2$입니다. 그 다음 Ux=y는 $x_2=1$과 $3x_1+1=5$을 주어, 따라서 $x_1=4/3$입니다. 곱행렬은 $A=\begin{pmatrix}3&1\\6&4\end{pmatrix}$이며, 이를 $(4/3,1)^T$에 적용하면 $(5,12)^T$을 얻습니다. PA=LU라면 원방정식에 P를 곱하여 Ly=Pb를 푼 후 Ux=y를 푹야 합니다. b에 P를 생략하면 다른 연립방정식을 푸는 것입니다.

Let A and B be endomorphisms of $\mathbb R^5$ with nullities two and three, respectively. Find all possible nullities of AB, and justify both the bound and attainability.

시도 후 확인

Rank B is two. Restrict B to $\ker(AB)$ to get

교집합에 있는 두 부분 공간은 모두 5차원에서 2차원이므로 교집합의 차수는 0, 1 또는 2가 될 수 있다. 따라서 영공간 차수는 3, 4 또는 5이다. 이를 실현하기 위해 None A와 Image B를 각각 $\ker A=\operatorname{span}(e_1,e_2)$, $\operatorname{span}(e_3,e_4)$, $\operatorname{span}(e_1,e_3)$ 또는 $\operatorname{span}(e_1,e_2)$로 취한다. rank-2인 임의의 B를 해당 이미지 위에 정의하면construction이 가능하다. 이러한 constructions은 느슨한 구간 경계뿐만 아니라 실현 가능성을 증명한다.