C.10 · Implicit differentiation and the inverse Jacobian

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 연쇄 법칙, 행렬 역수 및 국소 역수 가정.

• 결합된 암시적 시스템을 선형 시스템으로 구분하기
• Use a nonzero Jacobian determinant to justify a local inverse
• 역편미분과 스칼라 상쇄 규칙을 구분한다

자코비안 행렬(Jacobian matrix): 벡터 값 함수의 1계 편미분으로 이루어진 행렬.

로컬 역함수: 특정 입력점과 출력점의 근방에서 정의된 역함수입니다.

미분 가능한 매핑 F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v))의 자코비안은 J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]입니다. 작은 변화는 [dx,dy] (전치)=J[du,dv] (전치)를 1차 근사적으로 만족합니다. y를 고정하고 u_x를 구하기 위해 두 정의 방정식을 x에 대해 미분하면 f_u u_x+f_v v_x=1와 g_u u_x+g_v v_x=0이 됩니다. 이는 두 개의 독립적인 스칼라 역 규칙이 아닌 연립 선형 시스템입니다.

If f and g are continuously differentiable near the point and det J=f_u g_v−f_v g_u is nonzero there, the inverse-function theorem supplies a differentiable local inverse. Its derivative is J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Thus u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J and v_y=f_u/det J. Evaluate every derivative at the corresponding point. A local inverse need not extend to a global one.

For implicit equations H(u,v,x,y)=0 and K(u,v,x,y)=0, differentiate while fixing the requested independent coordinate. Solve [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (transpose)=−[H_x,K_x] (transpose). The determinant in the unknown variables u,v must be nonzero to use the usual implicit-function theorem. Signs on the right come from moving known derivatives to the other side. If the determinant vanishes, this theorem is inconclusive; it does not by itself prove no inverse or no implicit solution exists.

The scalar shortcut du/dx=1/(dx/du) holds for a one-variable inverse with nonzero derivative, but usually fails for a coupled system because v changes to keep y fixed. For x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] has determinant 1 and inverse [[2,−1],[−1,1]]. Therefore u_x=2 while 1/f_u=1. An inverse Jacobian transforms differential sensitivities; a change-of-variables integral instead uses the absolute determinant for area or volume scaling, not a selected inverse entry.

x=u²+v, y=u−v라고 하자. (u,v)=(1,0)에서 출력은 (1,1)이며, J=[[2,1],[1,−1]]의 행렬식은 −3이다. 역행렬은 [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]]이므로 u_x=1/3이고 v_y=−2/3이다. 여기에 J를 곱하면 항등행렬이 된다. 상쇄 1/f_u=1/2는 u_x가 아니다. u를 변경할 때 y를 고정하려면 v도 함께 변경해야 하기 때문이다.

Differentiate both equations and state which output is held fixed. Nonzero determinant guarantees a local inverse under the regularity hypotheses; zero determinant is not a proof of impossibility. Use an inverse entry for sensitivities and an absolute determinant for integration.

$x=u^2+v,y=u-v$라고 가정할 때, $(u,v)=(1,0)$에서 역자코비안과 네 가지 역편도함수를 구한 뒤 곱셈으로 확인하십시오.

풀이 과정

The corresponding output is $(1,1)$. The Jacobian is $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ with determinant -3, nonzero. Continuous partials give a differentiable local inverse. Thus

행을 (u_x,u_y) 및 (v_x,v_y)로 읽으십시오. 모든 값은 출력 (1,1)에서 계산되었습니다. 곱셈 결과는 단위행렬입니다. 특히 $u_x=1/3$이지 $1/x_u=1/2$가 아닙니다: v는 y를 고정하도록 변합니다.

$F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$에 대해 원점이 아닌 곳에서 그 도함수가 역행렬인지, 그리고 F가 뚫린 평면 위에서 전역 단사인지 결정하십시오. 원점에서의 0인 행렬식은 자체적으로 무엇을 증명합니까?

시도 후 확인

영점이 아닌 곳에서는 $\det DF=4(u^2+v^2)>0$이므로 역함수 정리에 의해 각 점에서 로컬 역함수가 존재합니다. 그러나 $F(u,v)=F(-u,-v)$이므로 뚫린 평면 위에서는 전사단사가 아닙니다. 영점에서의 행렬식 소멸은 해당 점에서 가역적인 로컬 역함수가 보장되지 않음을 의미합니다. 이는 어떤 함수에 대해서도 로컬 집합론적 역함수가 존재하지 않는다는 일반적 증명이 아님에 유의하십시오. 예를 들어 스칼러 세제곱 함수는 영점에서의 도함수가 0임에도 전사단사입니다.