C.9 · Integrating factors and nonhomogeneous differential equations

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 1차 곱법칙, 지수함수 및 특성 방정식

• 적분인자를 사용하여 1차 선형 미분방정식을 풀기
• 상수 계수 해의 동차 부분과 특해 부분을 구성하시오
• 공명 현상을 처리하고 원래 방정식에서 결과를 검증하시오

적분인자(integrating factor): 1차 선형 미분방정식을 곱의 미분 형태로 바꾸는 배수

특해(particular solution): 주어진 비동형 forcing를 공급하는 하나의 해

1차 선형 미분방정식은 계수가 연속인 구간에서 y′+p(x)y=q(x) 형태를 갖는다. 분리 가능할 필요는 없다. μ(x)=exp(∫p(x)dx)로 설정한다. μ′=pμ이므로 양변에 곱하면 (μy)′=μq이 되어, y=μ⁻¹(∫μq dx+C)가 된다. p에 대한 임의의 원함수를 선택할 수 있으며, 적분 상수는 오직 μ의 크기만 변경하고 해에서는 소거된다. 적분 후 초기 조건을 적용하고, 선택한 구간 밖의 특이 계수 점은 제외한다.

For y′+2xy=x with y(0)=1, μ=e^(x²). Then (e^(x²)y)′=x e^(x²), whose integral is e^(x²)/2+C. Thus y=1/2+C e^(−x²), and the initial condition gives C=1/2. Direct substitution checks y′+2xy=x. The integrating factor makes the left side a product derivative; it is not an extra factor that remains multiplying the original right side in the final answer.

For ay″+by′+cy=r(x) with a nonzero, solve the characteristic equation aλ²+bλ+c=0 for the homogeneous part. Distinct real roots give two exponentials; a repeated root λ gives (C₁+C₂x)e^(λx); roots α±iβ give e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). The complete solution is y_h+y_p. A polynomial forcing suggests a polynomial particular trial; an exponential or sine/cosine forcing suggests the corresponding family, with enough coefficients to account for differentiation.

특해 시도가 homogeneous 해와 중복되면 forcing를 생성할 수 없으므로, 단순 근에는 x를 한 번, 중근에는 두 번 곱한다. y″−3y′+2y=e^x인 경우, naive Ke^x는 소멸한다. Kxe^x를 시도하면 −Ke^x가 되므로, y_p=−xe^x이다. 초기 조건은 y_p를 더한 후에야 homogeneous 상수를 결정한다. 최종 함수를 원본 방정식에 대입하여 부호와 forcing를 확인하고, 초기 값 검증만으로 미분방정식을 검증할 수 없다.

y″−3y′+2y=4인 경우, characteristic roots는 1과 2이다. 상수 particular solution y_p=2는 2y_p=4을 주어, y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2가 된다. y′+2xy=x이고 y(0)=1인 경우, 분리에 의한 1계 해는 y=(1+e^(−x²))/2이다. 이들은 서로 다른 방법을 보여줄 뿐이며, 좌변이 선형이라고 해서 방정식이 homogeneous가 되는 것은 아니다.

특해를 유지하십시오. 공명(resonant)_trial에는 x 인자가 필요합니다. 적분인자 유도 과정은 유효한 계수 구간 내에서 적용되며, y로 나누거나 영해(y=0)를 침묵스럽게 버려서는 안 됩니다.

$y'+2y=e^x$, $y(0)=1$을 적분 인자를 사용하여 풀되, 결과를 직접 검증하시오.

풀이 과정

계수는 전역에서 연속이다. 적분 인자는 $\mu=e^{2x}$이다. 곱하기 $(e^{2x}y)'=e^{3x}$을 얻는다. 적분 $y=e^x/3+Ce^{-2x}$을 얻는다. 초기 조건에 의해 C=2/3이므로, $y=e^x/3+2e^{-2x}/3$이다. 미분하면 $y'=e^x/3-4e^{-2x}/3$이 되고, 여기에 2y를 더하면 $e^x$이 되며, y(0)=1이다.

$y''-2y'+y=e^x$을 $y(0)=0,y'(0)=0$과 함께 풀되, 왜 $Ke^x$이나 $Kxe^x$이 충분한 특해 시도인지 설명하시오.

시도 후 확인

동차근이 1으로 이중근이면, $y_h=(C_1+C_2x)e^x$이다. 제안된 두 시도 모두 이미 동차 공간에 속하므로 소멸된다. $y=e^xv$을 배치하되, $y''-2y'+y=e^xv''$을 적용하시오. 따라서 $v''=1$과 $v=x^2/2+C_2x+C_1$이다. 두 초기 조건에 의해 $C_1=C_2=0$이 주어지므로, $y=x^2e^x/2$이다. 이 대입은 초기 값에만 의존하지 않고 강제 항까지 검증한다.