T.10 · Vector geometry, projections and oriented area

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 좌표 벡터, 내적/외적 및 노름.

• 내적을 사용하여 각도를 분류하고 투영을 계산하십시오
• 외적을 사용하여 삼각형의 면적과 방향을 계산하십시오
• 평면 내의 내적 부호 구성을 구축하거나 배제하십시오

직교: 실수 내적 공간에서 내적이 0인 상태입니다.

외적: 3차원에서 방향이 있는 수직 벡터이며, 그 크기는 변형된 사변형의 면적입니다.

For nonzero real vectors u,v, u·v=|u||v| cos θ. A positive, zero or negative dot product corresponds to an acute, right or obtuse smaller angle. The scalar projection of v along u is (v·u)/|u|; its vector projection is ((v·u)/(u·u))u. The difference from this projection is orthogonal to u. Do not confuse a projected vector with its signed scalar component. The zero vector is orthogonal to every vector but has no defined angle direction.

3차원 벡터에서 u×v는 두 벡터 모두에 수직이며 길이는 |u||v| sin θ입니다. 좌표 계산은 (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁)를 사용합니다. 이 길이는 사변형의 면적이므로 두 가장자리 벡터로 이루어진 삼각형의 면적은 그 절반입니다. 순서를 바꾸면 외적의 방향은 반대가 되지만 면적은 보존됩니다. 두 가장자리 벡터를 같은 꼭짓점에서 만들어야 하며, 서로 관련 없는 위치 벡터끼리 외적을 취하면 잘못된 삼각형을 측정하게 됩니다.

The plane through a point p with nonzero normal n has equation n·(x−p)=0. Distance from q to the plane is |n·(q−p)|/|n|; the denominator normalises the scale of the equation. A scalar triple product u·(v×w) gives signed parallelepiped volume; its absolute value is geometric volume. Zero triple product means dependence of the three edge vectors, not necessarily that each pair is perpendicular or parallel.

For four planar vectors, there are six unordered dot products. The configuration e₁,−e₁,e₂,−e₂ has two negative products and four zeros; e₁,e₁,e₂,e₂ has two positive products and four zeros. Four nonzero vectors cannot have every pairwise dot product negative. Order their directions around the circle: each consecutive angular gap would have to exceed 90°, forcing the sum of four gaps above 360°. A zero vector cannot rescue a strict-negative requirement, because its dot products vanish.

With p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), the edges are u=(2,0,0), v=(0,3,0). Their cross product is (0,0,6), giving triangle area 3. For w=(3,4) and u=(1,0), the vector projection is (3,0) and the orthogonal remainder is (0,4). The plane 2x−y+2z=6 has normal length 3, so its distance from the origin is 6/3=2.

교차곱의 크기는 평행사변형의 면적이므로 삼각형의 경우 그 절반을 취합니다. 점곱이 0이라는 것은 영벡터에 대해서도 대수적 직교성을 나타냅니다. 평면과의 거리는 법선 벡터의 길이로 나누어야 합니다.

$v=(2,3,6)$를 $u=(1,0,2)$에 투영한다. 꼭짓점이 O, u, v인 삼각형의 넓이를 구한다. 투영 잔차가 u와 직교함을 확인한다.

풀이 과정

$v\cdot u=14$와 $u\cdot u=5$이므로 벡터 투영은 $(14/5)u=(14/5,0,28/5)$이다. 잔차는 $(-4/5,3,2/5)$이며, 이는 u와의 내적이 0이다. 외적은 $u\times v=(-6,-2,3)$이며 그 크기는 7이다. 삼각형의 넓이는 평행사변형 넓이의 절반, 즉 $7/2$이다. 두 가장자리 벡터가 모두 O에서 시작하므로, 관련 없는 위치 벡터를 교차 연산하는 것은 일반적으로 요구된 삼각형을 계산하지 못한다.

$\mathbb R^2$에서 네 개의 영이 아닌 벡터가 모든 6개의 쌍별 내적을 엄격하게 음수로 만들 수 있습니까? 증명을 제시하십시오. 영인 내적을 허용하면 가능성은 어떻게 달라지나요?

시도 후 확인

원주 위에 방향을 정리하시오. 인접한 간격은 모두 $\pi/2$보다 커야 한다: 만약 간격이 $\pi/2$ 이하라면, 그 쌍의 내적은 음수가 아닌 값이 된다. 네 개의 such 간격의 합은 $2\pi$보다 크므로 불가능하다. 따라서 모든 6개 내적이 엄밀하게 음수가 될 수 없다. 비양성 내적(0 이상)의 경우, $e_1,e_2,-e_1,-e_2$이 가능하다: 인접한 쌍은 직교하고 반대편 쌍은 음수의 내적을 가진다. 영벡터는 엄밀한 부호 부정을 만족할 수 없다.