T.9 · Similarity, scaling and conic distance loci

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 닮은 삼각형, 거리 공식 및 이차 방정식.

• 변의 비율을 구성하기 전에 각의 크기가 같은 삼각형의 꼭짓점을 매칭하십시오.
• 기하학적 변화에 길이, 면적, 부피 비례 인자를 적용하십시오.
• 이차 곡선의 거리 조건을 확인하고 부호가 있는 쌍곡선 가지 중 하나를 유지하십시오.

닮음: 대응하는 각이 같고 대응하는 길이의 공통 비가 존재함.

초점: 이차 곡선의 거리 정의에 사용되는 고정된 점.

대응하는 각이 같으면 삼각형은 닮으며, 이때 대응하는 변의 비율도 같습니다. 꼭짓점의 대응 관계를 명시하여 쓰십시오. 삼각형 APQ에서 ∠A가 ∠A(△ABC)와 같고 ∠P가 ∠C와 같다면, 순서대로 된 대응 관계는 A↔A, P↔C, Q↔B입니다. 따라서 AP/AC=AQ/AB=PQ/CB입니다. 변 AP는 AB 위에 있지만 AC에 대응하므로, 변의 위치나 문자 P만으로 매칭하면 잘못된 비율을 구할 수 있습니다.

With a common length scale factor k>0, lengths multiply by k, areas by k² and volumes by k³. A 30% length increase means k=1.30, hence an area increase of 1.30²−1=0.69, or 69%; it is not 60%. For similar solids with a volume ratio of 27, the length ratio is 3 and the surface-area ratio 9. Percentage changes and absolute differences are different quantities; write the new-to-old ratio before converting it to a percent.

A circle fixes distance to one point. An ellipse fixes the sum of distances to two foci. A hyperbola fixes the absolute difference of those distances; a parabola fixes equality of distance to a focus and to a directrix. These are definitions of point sets, not sketches to memorise. For foci (−c,0) and (c,0), an ellipse uses a sum 2a with a>c. A nondegenerate hyperbola uses an absolute difference 2a with 0<a<c; a signed difference distinguishes its two branches.

수평 대축을 가진 쌍곡선에서 c²=a²+b²이며, 식은 x²/a²−y²/b²=1입니다. r_A를 (−c,0)까지의 거리, r_B를 (c,0)까지의 거리라 합시다. 조건 r_A−r_B=2a>0은 오른쪽 가지 x≥a를 선택하고, 음의 조건은 왼쪽을 선택합니다. 제곱 시 부호가 소실될 수 있으므로 식을 얻은 후 원거리 조건을 확인하십시오. 차이가 0이면 쌍곡선이 아닌 수직 이등분선을 줍니다. 차이가 초점 간 거리보다 크면 삼각부등식에 의해 불가능합니다.

AB=10, AC=15, BC=20라고 합시다. AB 위의 점 P는 AP=6이고, AC 위의 점 Q는 각 APQ가 각 ACB와 같습니다. 그러면 AP/AC=6/15=2/5이므로 PQ=8이고 AQ=4입니다. 별개로, 초점이 (−5,0),(5,0)에 있고 좌우로 가는 거리 차이가 6이면 a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 with x≥3입니다. 점 (−3,0)은 제곱 방정식을 만족하지만 부호 조건은 위반합니다.

변보다 각도를 먼저 매칭하십시오. 면적 백분율은 길이 인자의 제곱을 사용합니다. 제곱된 거리 방정식은 원본 문제에서 하나만 요구하더라도 두 분지를 모두 묘사할 수 있습니다.

Similar solids have surface-area ratio 9:25. Find their corresponding length and volume ratios. Explain why matching vertices matters before forming a triangle ratio.

풀이 과정

양수 제곱근을 취하면 길이 비가 3:5입니다. 세제곱하면 부피 비가 27:125입니다. 면적 비 자체는 길이 비례 인자가 아닙니다. 대응하는 꼭짓점은 같은 각에 매칭되어야 합니다. 그렇지 않으면 비율이 무관한 변끼리 비교하게 됩니다. 닮음은 여기서 가정된 것입니다. 면적 비만으로는 임의의 입체가 닮음을 증명하지 못합니다.

초점이 $A=(-5,0)$과 $B=(5,0)$일 때, 궤적 $|PA|-|PB|=6$을 구하십시오. 표준 식을 유도하고, 가지를 선택하며, 제곱되지 않은 관계에서 꼭짓점을 확인하십시오. 요구된 차이가 12라면 어떻게 됩니까?

시도 후 확인

Write $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ and $r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. The original condition is $r_A-r_B=6$. Since $r_A^2-r_B^2=20x$, multiplying the distance difference by their sum gives $r_A+r_B=10x/3$. Hence $r_B=5x/3-3$, which must be nonnegative. Squaring this equality gives $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. Expanding and collecting gives $16x^2/9-y^2=16$. Thus the half focal distance is c=5, half difference is a=3, and the hyperbola is $x^2/9-y^2/16=1$, using $b^2=c^2-a^2=16$. The original positive difference selects the right branch $x\ge3$. At $(3,0)$ the distances are 8 and 2, difference six; at $(-3,0)$ the difference is negative six. Squaring alone retains this invalid branch. A difference of 12 exceeds $|AB|=10$ and is impossible by the reverse triangle inequality.