T.8 · Conditioning, Bayesian inference and sampling error

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

이수 전 필수 지식: 확률 표, 기댓값, 분산 및 독립 표본.

• 조건부 확률, 결합 확률 및 독립 사건 확률을 구분함
• 완전한 기본율 표를 사용하여 사후 확률을 계산함
• 분산과 표본 크기를 사용하여 표본 평균의 표준 오차를 결정함

사후 확률(posterior probability): 사전 비율을 반영한 후 관측된 증거에 기반한 확률임.

표준 오차(standard error): 반복적인 표본에서 통계량의 표준편차임.

For P(B)>0, P(A|B)=P(A∩B)/P(B): restrict the population to B before computing the fraction in A. Independence means P(A∩B)=P(A)P(B), equivalently P(A|B)=P(A) when the denominator is nonzero. Mutually exclusive events with positive probabilities cannot be independent, because their joint probability is zero. Sampling without replacement usually changes later probabilities; a fixed denominator for successive draws would describe a different experiment.

결합 확률은 사전 범주 비율에 해당 조건부 확률을 곱하여 구축한다. D를 조건이고 +를 양의 결과라 할 때, P(D∩+)=P(D)P(+|D)이다. 전체 양의 확률은 P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D)인데, 이들은 불교차하며 모든 양의 결과를 포괄하기 때문이다. 베이즈 정리는 첫 번째 결합 확률을 이 총량으로 나눈 값이다. 민감도는 P(+|D)이며, 특이도는 P(−|not D)이다. 위양성율은 특이도의 일의 차이다.

For a hypothetical test with prevalence 2%, sensitivity 90% and specificity 95%, use a population of 10,000 for clarity. Of 200 people with the condition, 180 test positive. Of 9,800 without it, 490 test positive. Therefore 180 of 670 positive results have the condition: posterior 18/67, about 26.9%. Reversing the conditional would give 90%, answering a different question. This is a mathematical model, not a recommendation about clinical decisions.

For independent identically distributed observations with finite variance σ², the sample mean has expectation μ and variance σ²/n; its standard error is σ/√n. This is spread of repeated sample means, not the spread of individual observations. Quadrupling n halves the standard error, rather than quartering it. Normal population data give an exactly normal mean; otherwise a central-limit approximation needs adequate conditions and sample size. Correlation invalidates the simple independent variance calculation.

P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.3라 하면, P(A|B)=0.6이므로 A와 B는 독립이 아닙니다. 왜냐하면 0.3≠0.4·0.5이기 때문입니다. 변수의 표준편차가 12이고, 독립적인 표본 크기가 36이면 평균 표준오차는 2입니다. 표본 크기를 144로 늘리면 1이 되며, 개별 관측치의 표준편차는 여전히 12입니다.

P(+|D)를 P(D|+)로 역전하지 마십시오. 사후 분모에 위양성을 포함하십시오. 개별 관측치의 표준편차와 Defaults의 표준오차는 표본 크기별 거동이 다릅니다.

In a stated model, 10% of devices have a defect. A test is positive for 80% of defective and 5% of nondefective devices. Find the probability of a defect given a positive result using 1000 expected devices.

풀이 과정

예상 개수는 불량품 100개와 정상품 900개이다. 양성 개수는 각각 $100(0.8)=80$개와 $900(0.05)=45$개이다. 조건부 집합에는 125개의 양성이 포함되어 있으므로,

음수 값 20과 855은 행 합계를 모두 확인합니다. 민감도 0.8는 $P(+\mid D)$이며, 요청한 역조건이 아닙니다. 이는 측정된 성능 주장이 아닌 설명용 모델 비율입니다.

Independent observations have variance 25. Find the standard error of their mean for n=100. If instead every distinct pair has covariance 1, find the mean's variance. Does quadrupling n necessarily halve the standard error in that second model?

시도 후 확인

독립성은 $\operatorname{Var}(\overline X)=25/n$를 주며, 표준 오차 100에서 $5/10=0.5$이다. 공분산이 1이면,

At 100 it is 1.24. The standard error tends to one as n grows, rather than to zero; quadrupling n need not halve it. Covariance terms may be dropped only under justified uncorrelatedness, with independence a sufficient condition.