C.2 · Multivariable calculus and vector analysis

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

Prerequisites: Single-variable derivatives, dot products and iterated integration.

• 편미분, 기울기 벡터 및 방향 도함수 계산하기
• 다중 적분 및 좌표 변환 활용하기
• 미분 조건을 사용하여 평면과 곡면을 구분하기

기울기(gradient): 편미분으로 이루어진 벡터.

자코비안(Jacobian): 좌표 변환에서의 국소적인 면적 또는 부피 배율.

A partial derivative changes one coordinate while fixing the others. For f=x²+3xy, f_x=2x+3y and f_y=3x. The gradient collects these derivatives; if f is differentiable, the directional derivative along a unit vector v is grad f·v. Normalise the direction before taking this dot product. A direction vector of length two would double the answer if used without normalisation.

Differentiability means a valid linear approximation, not merely the existence of some partial derivatives at one point. Continuous first partials in a neighbourhood are a sufficient condition. For a composition f(x(t),y(t)), the chain rule gives f_x x′+f_y y′. Second derivatives can introduce both direct and mixed terms; a zero mixed partial alone places no restriction on the pure second partials.

다중 적분은 지정된 영역에 대한 기여도를 합산한다. 반복 적분의 경계를 선택하기 전에 영역을 서술하십시오. 비직사각형 경계는 순서를 바꾸면 변경될 수 있다. 극좌표에서 면적은 dr dtheta가 아닌 r dr dtheta이다. 일반적인 좌표 변환에서는 절대 자코비안 행렬식을 사용한다. 부호는 방향성 있는 벡터량에 속하며, 면적 및 부피 배율은 음수가 아닌 계수를 사용한다.

R² 상에서 전역적으로 정의된 함수의 두 가지 첫 번째 편미분이 모두 상수(a, b)라면, 순차적으로 적분하여 f=ax+by+c, 즉 평면을 얻는다. 이는 평행한 직선 등고선만으로 추론할 수 없다: e^x는 수직 평행 등고선을 가지지만 그래프는 곡선이다. 또한 f_xy=f_yx=0이라고 해서 반드시 평면임을 보장하지도 않는다: x²+y²은 반례이다. 첫 번째 도함수의 상수성, 혼합 종속성의 부재, 그리고 선택된 등고선의 형태를 구분하시오.

f(x,y)=x²+3y²일 때, gradient f=(2x,6y)이다. 점 (1,1)에서 이 값은 (2,6)이다. 방향 (3,4)에서의 단위 벡터는 (3/5,4/5)이며, 이에 의해 방향 도함수는 2·3/5+6·4/5=6가 된다.

단위가 아닌 방향 벡터는 단위 거리당 미분값이 아닌, 확대된 방향 속도를 나타낸다.

$f(x,y)=x^2+xy+2y^2$에 대해, $(1,-1)$에서 $(3,4)$ 방향으로 가는 방향 도함수를 구하시오. 단위 원반 $D$에 대해 $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$을 평가하시오.

풀이 과정

다항식은 미분 가능합니다. 방향을 표준화합니다: $u=(3/5,4/5)$. 기하학은 $(2x+y,x+4y)$이므로, 점에서 $(1,-3)$입니다.

원점에서 $g(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}$과 $g(0,0)=0$을 제외하고 정의됩니다. 원점에서의 두 편미분값은 모두 0입니다. $g$이 그 점에서 미분 가능합니까? 연속입니까?

시도 후 확인

각 축 $g=0$에 대해 두 편미분값은 0입니다. $|xy|\le(x^2+y^2)/2$에서 얻은 $|g(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}/2\to0$에 의해 연속성이 보장됩니다. 만약 미분 가능하다면, 선형 미분은 0이어야 합니다. $x=y=t\ne0$을 따라,