T.6 · Functions, inverse branches and composition

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

Prerequisites: Function domains, quadratic equations and composition.

• 제시된 도메인과 코도메인을 사용하여 단사(injectivity)와 전사(surjectivity)를 구분하십시오.
• 양방향 합성을 통해 역branch를 선택하고 검증하십시오.
• 도메인을 유지하면서 반복적인 함수 합성을 추적하십시오.

bijection: 지정된 두 집합 사이에서 단사이고 전사인 함수.

involution: 도메인 위에서 자신과의 합성이 항등함수(identity)가 되는 함수.

함수는 허용된 입력에 대해 정확히 하나의 출력을 할당합니다. 단사는 같은 출력이 동일한 입력을 의미함을 뜻하며, 전사는 제시된 코도메인의 모든 원소가 도달됨을 뜻합니다. R에서 [0, ∞)로의 사상 x↦x²는 전사이지만 단사가 아닙니다. [0, ∞)에서 [0, ∞)로 이동할 때는 단사이자 전사이므로 bijection입니다. [0, ∞)에서 R로 이동할 때는 단사이지만 전사 성질을 잃습니다. 각 주장(testing each claim)을 검증할 때는 도메인, 이미지(image), 코도메인을 분리하여 생각하십시오.

역함수는 bijection을 반대로 reversal합니다. y=f(x)를 x에 대해 풀고, 원래 도메인을 사용하여 appropriate branch를 선하십시오. f(x)=(x−2)²−5 on x≥2인 경우, 역함수는 y≥−5에서 2+√(y+5)입니다. 마이너스(minus) branch는 선택한 도메인 외부의 입력을 반환할 것입니다. 허용된 x에 대해 f⁻¹(f(x))=x를, 허용된 y에 대해 f(f⁻¹(y))=y를 확인하십시오; 한 번 확인하지 않은 합성은 도메인 오류를 숨길 수 있습니다.

역함수의 그래프는 원래 그래프를 y=x에 대해 대칭(반영)시킨 것이며, 출력 값의 역수(reciprocal)를 취하는 것이 아닙니다. 자기 역함수(self-inverse function) 또는 involution은 합성이 정의되는 곳마다 f(f(x))=x를 만족합니다. R 위의 −x와 0을 제외한 R 위의 1/x는 모두 involution입니다. 구간에서 엄격히 증가하는(involution) 함수는 반드시 항등함수여야 합니다: 만약 f(x)>x라면 증가성에 의해 f(f(x))>f(x)>x가 되며, f(x)<x에 대해서는 유사한 논리로 배제됩니다.

반복 fⁿ은 지수 (f(x))ⁿ이 아니라 반복 합성을 의미합니다. 주기를 찾기 전에 첫 몇 번의 합성과 정의역을 확인한 후 계산하십시오. f(x)=1/(1−x)가 R에서 0과 1을 제외한 경우, f²(x)=(x−1)/x이고 f³(x)=x입니다. 이미지는 동일한 허용 정의역에 머무릅니다. 따라서 반복 횟수는 3으로 나눈 나머지로 줄일 수 있습니다. 소거 후 x와 같아지는 표시된 식은 금지된 입력을 복원하지 않습니다.

For f(x)=(x−2)²−5 with x≥2, f(5)=4 and f⁻¹(4)=2+√9=5. The unrestricted quadratic would have two inputs, −1 and 5, giving output 4. For g(x)=1/(1−x), the orbit 3→−1/2→2/3→3 has period three, so g⁸(3)=2/3; the count concerns compositions, not eighth powers.

코도메인을 변경하면 전사성에 영향을 미친다. y=x에 대한 반사는 역 그래프이며, y값의 역수는 다른 연산이다. excluded inputs를 소거하지 말라.

$f(x)=(x-1)^2+2$를 $x\ge1$로 제한하십시오. 이 함수의 이미지와 역함수(정의역 포함)를 명시하십시오. 두 역 합성을 모두 검증하십시오.

풀이 과정

The image is $[2,\infty)$. Solving $y=(x-1)^2+2$ with $x\ge1$ selects $x=1+\sqrt{y-2}$. Thus $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ has that formula. For allowed x, $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$ because $x-1\ge0$. For allowed y, $(\sqrt{y-2})^2+2=y$. The negative square-root branch belongs to a different restriction, not a second inverse on this domain.

$h(x)=1/(1-x)$라고 합시다. $h\circ h\circ h$의 정의역과 공식을 구하십시오. 원본 합성식에 영향을 주지 않고 제외된 점까지 단순화된 표현을 확장할 수 있습니까?

시도 후 확인

첫 단계에는 $x\ne1$가 필요합니다. 두 번째 단계에는 $h(x)\ne1$이 필요하며, 이는 x=0을 제외합니다. $x\ne0,1$에 대해, $h^2(x)=(x-1)/x$입니다. 이것이 항상 1이 아니므로 세 번째 단계는 추가적인 제외 조건을 더하지 않습니다. 따라서 $h^3(x)=x$이 $\mathbb R\setminus\{0,1\}$에서 정의됩니다. 항등식 공식은 더 넓게 정의되지만, 0 또는 1을 추가하는 것은 원본 합성 함수를 확장하는 것이 아니라 새로운 확장을 정의하는 것입니다. 소거 전 모든 중간 입력은 허용되어야 합니다.