C.7 · Coordinate changes and vector integral theorems

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 다중 적분, 편미분 및 방향 경계.

• 자코비안을 사용하여 이중 및 삼중 적분을 변환한다
• 올바른 방향을 사용하여 그린, 스톡스 및 발산 정리를 적용한다
• 경로 독립성을 주장하기 전에 domain의 특이점을 확인한다

발산(divergence): 벡터장의 좌표별 편도함수의 합으로 국소 외부 흐름을 측정하는 값이다.

보존적 장: 스칼라 퍼텐셜의 기하학적으로 독립적인 선적분을 가지는 벡터장.

변수 변경은 적분 영역의 면적 또는 부피를 절대값 자코비안 행렬식으로 스케일링합니다. 극좌표계는 r dr dθ를 사용하며, 원통 좌표계는 r dr dθ dz를 사용합니다. 양의 z축으로부터 각도 phi를 측정하는 구면 좌표계는 ρ² sin(φ) dρ dφ dθ를 사용합니다. 각도 규정을 명시하고 피적분함수와 적분 영역을 모두 변환해야 합니다. 자코비안을 누락하면 균일 밀도의 적분이 잘못된 물리량으로 변하게 됩니다.

Green's theorem equates positively oriented planar boundary circulation integral P dx+Q dy with the double integral of Q_x−P_y on the region. The usual hypotheses require first derivatives continuous on an open set containing the region. A hole needs its own negatively oriented inner boundary, or another valid treatment of the missing domain. The theorem cannot integrate across a field singularity.

스톡스(Stokes) 정리는 곡면 경계의 순환(circulation)이 곡면 적분 ∫∫ (curl F) · n dS와 같다고 합니다. 오른손 법칙은 경계 방향과 법선 벡터 사이의 관계를 연결합니다. 발산 정리(divergence theorem)는 닫힌 곡면을 통한 바깥쪽 유출(flux)이 부피 적분 ∭ div F dV와 같다고 합니다. 순환, 유출, 로테이션(curl), 발산(divergence)은 서로 다른 개념이며, 일반적인 발산 정리를 적용하기 위해서는 닫힌 곡면이 필요합니다.

A gradient field has path-independent line integrals, determined by endpoint potential differences. A continuously differentiable curl-free field on a simply connected open domain is conservative. Curl-free alone on a domain with a hole is insufficient. For F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)), the origin is excluded; unit-circle circulation is 2π, although the curl is zero wherever the field is defined.

For F=(x,y,z), divergence is 3. The outward flux through the sphere of radius 2 is therefore 3 times its volume, or 3·(4π·2³/3)=32π. This avoids a surface parameterisation. For the planar field (−y,x), Green's theorem gives counterclockwise unit-circle circulation as integral of 1−(−1)=2 over the disk, hence 2π. Reversing the orientation changes the circulation sign.

영역에 구멍이 있을 때는 Curl가 0인 것만으로는 부족하다. 바깥쪽 흐름과 반시계 방향 순환은 서로 다른 정리와 방향성 규칙을 사용한다.

$\iint_D(x^2+y^2)\,dA$를 $1\le x^2+y^2\le4$ 위에서 평가하십시오. 단위 구면에 대한 $F=(x,y,z)$의 바깥쪽 유출을 구하십시오.

풀이 과정

원반형 영역(annulus)의 극좌표 범위는 $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$입니다. 자코비안을 포함하여,

F는 전체 볼(ball) 위에서 연속 미분 가능하며 발산이 3입니다. 발산 정리에 따라 바깥쪽 유출은 $3(4\pi/3)=4\pi$입니다. 안쪽 방향(inward orientation)을 사용하면 부호가 반대가 됩니다.

Let $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ on the punctured plane. Its scalar curl is zero there. Evaluate its circulation on the counterclockwise unit circle. Explain why Green's theorem does not make it zero.

시도 후 확인

$r(t)=(\cos t,\sin t)$를 $0\le t\le2\pi$에 대해 매개변수화하십시오. 그러면 $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$이므로, $G\cdot r'=1$이고 적분 값은 $2\pi$입니다. The field is undefined at the origin inside the disk. Green's theorem requires the needed smoothness on a neighbourhood of the region, not just on its boundary. Zero curl on a punctured domain does not establish a global potential; a closed nonexact field can circulate around its hole.