C.6 · Multivariable extrema and constrained optimisation

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 편미분, 이차형, 컴팩트성 및 제약 조건.

• 헤시안(Hessian)을 사용하여 이변수 정점의 유형 분류
• 정칙 제약 조건에서 라그랑주 승수법을 사용한다
• 정칙 제약 조건 하의 극값과 실현 가능 값을 비교한다

헤시안: 국소 곡률을 연구하기 위해 사용되는 2계 편도함수의 행렬이다.

라그랑주 승수: 제약이 있는 극점에서 목적 함수와 정칙 제약의 기울기를 연결하는 스칼라 값이다.

개방 영역에서 미분 가능한 함수의 내부 국소 극점은 기울기가 제로이다. 이 조건은 필수조건이지 충분조건은 아니다. 두 변수의 임계점에서 D=f_xx f_yy−(f_xy)²라 하자. D>0이고 f_xx>0이면 엄밀한 국소 최소점을, f_xx<0이면 엄밀한 국소 최대점을 준다; D<0이면 안장점(saddle point)을 준다. 이러한 검사는 점 주변에서의 적절한 2계 도함수의 정칙성을 요구한다.

D=0일 때 2계 도함수 검사는 결론을 내릴 수 없으며, 이는 안장점이 존재함을 증명하는 증거가 아니다. 함수 x⁴+y⁴와 x⁴−y⁴는 원점에서 동일한 제로 헤시안을 가지지만, 하나는 엄밀한 최소점을 가지고 다른 하나는 부호가 변한다. 상반된 방향을 따라 평가하거나 직접 부등식을 사용하라. 이차형에 대해서는 양정.po.sitive definiteness가 더 일반적인 헤시안 해석을 제공한다.

On a smooth equality constraint g(x,y)=c with nonzero gradient g, solve gradient f=lambda gradient g together with g=c. These equations generate candidates; they do not classify or guarantee a global extremum. If the constraint gradient vanishes, the regularity condition fails and the multiplier equations can miss a constrained extremum. Treat such points separately. For x²+y²=a and xy=b>0, (x−y)²=a−2b shows necessity a≥2b. It is also sufficient: take s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 and y=(s−d)/2. These real values have xy=b and x²+y²=a. A minimum condition alone needs this attainment check to establish solvability.

압축 가능한 feasible set 위에서 연속 함수는 전역 극점을 attainment한다. 이를 찾기 위해서는 모든 내부 후보와 모서리 조각, 꼭짓점 및 끝점을 포함하여 비교해야 한다. 사각형의 경우 각 가장자리에서의 제한 조건을 최적화한다. 원반의 경우 원주 경계는 매개변수나 승수를 사용할 수 있다. 비제약 기울기만 풀면 가능한 경계 최우solution들을 무시하게 된다.

x+y=6의 제약 조건 하에서 x²+y²를 최소화하십시오. 제약 기울기는 (1,1)이므로, 2x=lambda이고 2y=lambda입니다. 따라서 x=y이며 제약 조건은 x=y=3을 주어 값은 18입니다. 직선에서 제곱을 완성하면 x²+(6−x)²=2(x−3)²+18이 되어 전역 최소임을 증명합니다. 승수 후보가 존재함에도 불구하고 이 무한 직선에는 최댓점이 없습니다.

라그랑주 승수 해는 후보일 뿐이며, 자동으로 최대값이나 최소값이 아닙니다. 정칙성과 완전한 허용 집합을 확인하십시오.

$f(x,y)=x^2-y^2$와 $g(x,y)=x^4+y^4$에 대해 원점을 분류하시오. 제로 헤시안 판정식이 무엇을 의미하는지 서술하시오.

풀이 과정

For f the Hessian is $\operatorname{diag}(2,-2)$ with determinant -4; the origin is a saddle. Along the axes the values have opposite signs. For g the Hessian at zero is zero, so the second-derivative test is inconclusive. Nevertheless $x^4+y^4\ge0$, with equality only at the origin; it is a strict global minimum. An inconclusive test is not a classification of the point.

$f(x,y)=xy$에 대해 $x^2+y^2=2$의 제약 하에서 모든 극점을 찾으십시오. maxima가 존재하는지 포함하여 선 $x+y=4$ 위에서 $x^2+y^2$를 최소화하는 것과 비교하십시오.

시도 후 확인

The circle is compact and its constraint gradient $(2x,2y)$ never vanishes there. Multipliers give $y=2\lambda x$, $x=2\lambda y$. Neither coordinate can be zero at a stationary point; hence $y=\pm x$. The four candidates $(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)$ give global maximum 1 and minimum -1. The bound $2|xy|\le x^2+y^2=2$ checks completeness. On the line, $x^2+(4-x)^2=2(x-2)^2+8$, so the minimum is 8 at $(2,2)$. There is no maximum because the expression is unbounded. Multiplier candidates alone do not establish compactness.