C.5 · Improper integrals and geometric applications

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

전제지식: 원함수, 극한, 비교 및 기하 적분법.

• 각 특이 경계에서의 극한으로 부적정 적분을 정의
• 기하학에서 면적, 부피 및 호 길이 공식을 선택
• 적분의 수렴과 부호 소거를 분리

부적정 적분: 무한 또는 특이 경계에서의 극한으로 정의된 적분.

주요 값: 일반 부적정 적분이 발산할 때도 존재할 수 있는, 지정된 대칭적 소거를 사용하는 극한.

무한 적분 상한은 유한 경계와 극한으로 교체한다. 구간 내부의 특이점에서는 적분을 분할하고 양측 적분이 각각 수렴하도록 요구한다. 대칭적 소거는 카시 주 값을 정의할 수는 있으나, 일반 부적정 적분의 수렴을 증명하지는 못한다. 0을 가로지르는 1/x의 경우, 대칭적 차단이 소거되더라도 양변은 모두 발산한다.

The integral of x^(−p) from 1 to infinity converges exactly when p>1. From zero to 1 it converges exactly when p<1. The same exponent behaves differently at the two boundaries. For positive integrands, comparison transfers convergence from a larger integrable function or divergence from a smaller nonintegrable one; keep the inequality direction correct. For an integral of a maximum or minimum, solve branch crossings and check which expression dominates each interval. For max(√(1−x²),x+1) on [−1,1], the interior crossing is zero; use the semicircle on [−1,0] and the line on [0,1]. The area is π/4+3/2, not the integral of either branch over the entire interval.

x축에 대한 회전 부피는 원판 또는 원통링 방법에서 π(R²²−r²²) dx를 적분하여 구합니다. 원통 껍질 방법은 2π에 반지름과 높이를 곱한 식을 해당 변수로 적분합니다. 기하학적 형상에 따라 방법을 선택하고 반지름이 음수가 아님을 확인하십시오. 곡선 사이의 면적은 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺀 차이를 적분하며, 두 함수의 순서가 바뀌는 지점에서 구간을 나누어야 합니다. 부호 있는 적분은 반드시 기하학적 면적을 의미하지는 않습니다.

미분 가능한 평면 곡선 y=f(x)의 호 길이는 sqrt(1+(f′(x))²) dx의 적분입니다. 음이 아닌 f를 x축 주위로 회전하여 형성된 표면적은 적분 2πf sqrt(1+(f′)²) dx입니다. 이들은 부피와 다른 양입니다. 구간이 무한할 경우 기하학적 공식에도 수렴 검정이 필요합니다.

x≥1인 y=1/x를 x축 주변으로 회전시킨다. 원반 부피는 π × ∫1/x²이므로 V=π이다. 측면 적분함수는 2π(1/x)sqrt(1+1/x⁴)이며, 이는 적어도 2π/x 이상이다. 이 부정적 적분은 발산하므로, 유한 부피는 유한 표면적을 의미하지 않는다. 이 비교는 불필요한 원적분을 찾는 시도를 피하게 해준다.

주요 값을 수렴하는 부정적 적분으로 간주하거나, 한 기하학적 양의 유한성을 다른 양으로부터 추론하지 마십시오.

For which real p does $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$ converge? Compare the ordinary improper integral of $1/x$ on $[-1,1]$ with its symmetric principal value.

풀이 과정

1에서 구간을 나눕니다. 0 근처에서는 수렴에 $p<1$이 필요하며, 무한대 근처에서는 $p>1$이 필요합니다. 두 조건을 모두 만족하는 실수 p는 없으며, p=1일 때 양 끝단에서 모두 로그적으로 발산합니다. 양변 부분 적분은 각각 독립적으로 수렴해야 합니다. $1/x$을 0을 경계로 적분할 때, 음수부와 양수부가 각각 발산하므로 일반 부정적분은 발산합니다. 대칭적인 절단으로 소거되어 0이 되지만, 이는 오직 주값(principal value)일 뿐입니다. 0은 일반 적분의 값이 아닙니다.

곡선 $y=1/x$, 직선 $x\ge1$, 그리고 x축으로 둘러싸인 영역을 x축 주위로 회전시킵니다. 이 부피는 유한하지만 측면적은 무한함을 증명하십시오.

시도 후 확인

원판 방법은 부피 $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$을 줍니다. 표면적 계산에는 $y'=-1/x^2$와

비음수 피적분함수는 적분이 발산하는 $2\pi/x$보다 크거나 같습니다. 비교 판정에 의해 측면적이 무한함이 증명됩니다. 여기에는 단추개(end cap) 포함 여부와 유한한 부피가 유한한 면적을 의미한다는 주장은 없습니다.