C.4 · Taylor expansions and power-series endpoints

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 도함수, 기하급수 및 수렴 판별법.

• 테일러 다항식을 구성하고 근사 오차를 통제하시오
• 수렴 반경을 결정하고 끝점을 별도로 검사하시오
• 수렴 구간 내에서 멱급수를 미분하고 적분하시오

수렴 반경: 급수의 중심으로부터 멱급수가 절대수렴하는 거리.

잔차: 함수와 그 유한 근사값 사이의 차이.

The Taylor polynomial of degree m at a is the sum of f^(k)(a)(x−a)^k/k! for k from zero to m. The factorial belongs to each coefficient. If the next derivative is bounded in magnitude by M between a and x, the Lagrange remainder has magnitude at most M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. Smoothness alone does not guarantee that the infinite Taylor series equals the function everywhere.

A power series sum c_n(x−a)^n converges absolutely inside its radius R and diverges outside it. Ratio or root tests usually determine R, with possible values zero and infinity. At x=a−R and x=a+R the test often becomes inconclusive; substitute each endpoint into the original series. The two endpoint behaviours may differ.

개방 구간 내의 수렴 구간에서 항별 미분과 적분은 수렴 반지름을 보존하지만, 양 끝점이 포함되는 여부는 변경될 수 있습니다. 기하급수 1/(1−x)=sum x^n (|x|<1)에서 시작하여 0부터 x까지 적분하면 −ln(1−x)=sum x^n/n (n≥1)를 얻을 수 있습니다. 적분 상수와 실수 로그의 정의역을 확인하십시오.

Series also resolve removable limit forms. To evaluate (e^x−1−x)/x² near zero, retain the first surviving term x²/2 rather than using only e^x≈1+x. An asymptotic truncation establishes the limit; a finite-interval inequality needs a separate remainder sign or magnitude argument. Do not substitute into a series outside its convergence interval.

sum x^n/n (n≥1)에 대해 비율 검정은 반지름 1을 준다. x=1에서는 발산하는 조화 급수이고, x=−1에서는 교대 수렴 급수이다. 따라서 실수 수렴 구간은 [−1,1)이다. 내부에서 미분하면 sum x^(n−1)=1/(1−x)가 되며, 두 단점 모두에서 수렴하지 않는다. 반지름은 ⟨1⟩로 유지되었으나 단점 포함 여부는 바뀌었다.

반지름은 완전한 수렴 구간이 아니다. 단점 검사와 계승 계수를 명시적으로 확인해야 한다.

$\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$와 its termwise derivative의 수렴 구간을 찾으십시오. justified error bound를 사용하여 quadratic Taylor polynomial로 $e^{0.1}$을 근사하십시오.

풀이 과정

비율 검정으로 수렴 반경은 1이다. 1에서 원래 조화 급수는 발산하고, -1에서 교대 급수는 수렴한다. 따라서 원래 구간은 $[-1,1)$이다. 미분식은 $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$이며, 이는 $|x|<1$에서만 성립한다. 양쪽 끝점에서 항은 0으로 수렴하지 않는다. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. 구간 $[0,0.1]$에서 3계 도함수는 $e^x<2$이다. 라그랑주 경계는 $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$이다. 이 경계는 의도적으로 보수적인 것으로, 정확한 오차를 주장하는 것이 아니다.

$\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$을 계산하라. 코사인(st)을 ⟨$1-x^2/2$⟩만으로 대체하여 이 극한을 결정할 수 없는 이유를 설명하라.

시도 후 확인

Taylor's theorem near zero gives $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$. Subtraction cancels the constant and quadratic terms, leaving $x^4/24+O(x^6)$. After division the limit is $1/24$. A truncation with remainder merely $o(x^2)$ gives no control after division by $x^4$; retain and bound the first surviving order.