T.5 · Open sets, compactness and connectedness

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

전제 조건: 집합, 상대 개집합, 연속 함수 및 수열.

• 주어진 공간에서 폐포, 내부 및 경계를 계산한다
• 연속 함수에 대해 합성성과 연결성을 적용하시오
• 상대 위상과.metrics Euclidean 위상을 구별한다

상대 위상: 아미언트 개집합과의 교집합으로 하위공간이 상속받는 개집합들이다.

연결성: 서로소인 비공인 상대 개집합으로 분리되지 않는 상태이다.

메트릭 공간에서 열린 집합은 각 점 주변에 작은 공을 포함합니다. 내부는 이러한 점들의 집합이며, 폐포는 모든 극한점을 포함하고, 경계는 폐포 minus 내부입니다. 열리고 닫힌 것은 상호 배타적 레이블이 아닙니다; 공집합과 전체 공간은 둘 다 해당합니다. R에서 집합 [0,1)의 내부는 (0,1), 폐포는 [0,1], 경계는 {0,1}입니다.

하위공간 X에서 개집합은 X와 아미언트 개집합의 교집합 형태를 가진다. 따라서 (-1,1)와의 교집합을 사용하여 [0,1)는 [0,2]에 대해 상대개이지만 R에서는 개집합이 아니다. 집합은 아미언트 공간에서 닫혀 있지 않으면서도 상대닫힐 수 있다. 항상 어떤 공간이 근방을 정의하고 어떤 메트릭이 사용되는지를 명시해야 한다.

컴팩트성은 모든 개피복이 유한 부분 피복을 가짐을 의미한다. 유클리드 R^n에서 하이네-보레ल 정리는 이것이 닫히고 유계임과 동치임을 보여준다. 거리 공간에서 컴팩트성은 순서 컴팩트성과 동치이며, 임의의 거리 공간에서 완비성과 유계성만으로는 충분치 않다. 컴팩트 집합의 연속 이미지는 컴팩트하므로, 비공인 컴팩트 도메인 위의 실수 연속 함수는 최대값과 최소값을 attained한다.

연결 집합은 서로소인 비공인 상대 개부분으로 분리될 수 없으며, R의 연결 부분집합은 정확히 구간이다. 연결 집합의 연속 이미지는 연결되어 중간의 값 정리를 유도한다. 경로 연결성은 연결성을 함의하지만 모든 공간에서 역은 성립하지 않는다. 컴팩트 집합은 연결되지 않을 수도 있으며, 연결 집합은 컴팩트가 아닐 수도 있다. 유한한 이점 집합과 개구간이 대조적인 사례를 제공한다.

Let X=[0,1] with its usual relative topology. The set U=[0,0.5) equals X intersected with (-1,0.5), so U is open in X. Its closure in X is [0,0.5], and its boundary in X is {0.5}; zero is an interior point relative to X. For a continuous f on X with f(0)<0<f(1), connectedness ensures a zero, while compactness separately ensures attained extrema.

Heine–Borel의 닫힘-유계성 판정법은 유클리드 공간의 정리이다. 연결성과 컴팩트성은 서로 다른 질문에 대한 답을 제공한다.

상대拓扑를 가진 $X=[0,2]$에서 $A=[0,1)$의 내부, 포괄, 경계를 구하시오. A는 X에서 열렸는가, 닫혔는가?

풀이 과정

$A=X\cap(-1,1)$은 X에서 열려 있으므로 상대 내부집합은 A입니다. 포괄은 $[0,1]$이고 경계는 $\{1\}$입니다. X 내에서 충분히 작은 공에는 음의 부분이 없으므로 0은 X에 대해 내부점입니다. A는 X에서 닫히지 않습니다: sequence $1-1/n$ for $n\ge2$이 누락된 점 1로 수렴하기 때문입니다..metrics 실수 직선에서는 내부와 경계가 각각 $(0,1)$과 $\{0,1\}$이 됩니다.

Give a compact disconnected real set and a connected noncompact real set. Must a continuous real function on the latter attain an extreme value? Explain which property gives the intermediate value theorem.

시도 후 확인

유한 집합 $\{0,2\}$은 합성이지만 불연결이다. 구간 $(0,1)$은 연결적이지만 합성이 아니다. $(0,1)$ 위의 합성 항등함수는 최대값이나 최소값을 달성하지 못한다. 연결성은 합성 실수 이미지를 구간으로 만들어 중간값을 제공하며, 합성성은 비공합성 합성 실수 이미지가 극값을 달성하게 한다. 두 성질은 서로 대체할 수 없다.