T.4 · Sequences, series and uniform convergence

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

전제 지식: 수열의 극한, 상한, 연속성 및 수열 급수.

• 코시 수열, 단조 수렴 정리, 부분 수열 기준 사용
• 점별 수렴과 균등 수렴의 차이점 구분
• 극한과 적분의 순서를 바꿀 전제 조건 확인

코시 수열: 충분히 늦은 항들이 서로 임의로 가까워지는 수열.

균일 수렴: 도메인의 모든 점에서 유효한 하나의 오차 임계값 인자를 가지는 수렴.

수렴하는 실수열은 코시 수열이며, R이 완비성이므로 모든 실수 코시 수열은 수렴한다. Q에서는 코시 수열이 무리수 근사할 수 있어 Q 내에서 수렴하지 않을 수 있다. 유계 단조 실수열은 수렴한다. 유계 수열은 반드시 수렴하지는 않으나 볼차노-바이어스트라스 정리에 의해 수렴하는 부분열이 보장되며, (-1)^n은 서로 다른 두 개의 부분열 극한을 가진다.

수열에 대해 절대 수렴은 수렴을 함의하며, 조건부 수렴은 임의의 재배열이 합에 영향을 미칠 수 있으므로 임의로 재배열할 수 없다. 교대 조화 급수는 수렴하지만 절댓값 급수는 발산한다. 비율 테스트에서 한계가 1 미만이면 절대 수렴을 증명하고 1 초과면 발산을 증명하며, 한계가 1이면 수 1/n과 수 1/n²이 모두 demonstrat하듯이 결론할 수 없다.

점별 수렴은 각 x와 허용 오차에 대해 개별적으로 인자 N을 선택한다. 균일 수렴은 도메인 내 모든 x에 통용되는 하나의 N을 선택한다. 실수함수에 대해서는 전체 도메인에 대한 |f_n−f|의 상한 supremum을 확인한다. 연속적인 점별 극한 자체가 균일 수렴을 증명하지는 않는다. 도메인 끝점과 shrinking peaks는 두 개념을 구분하는 데 자주 사용된다.

연속함수의 균등수렴은 연속입니다. 닫힌 유계 구간에서 Riemann 적분 가능 함수의 균등수렴은 극한과 적분의 교환을 허용합니다. 미분자의 교환은 추가 가정이 필요하며, 함수들의 균등수렴만으로는 불충분합니다. Weierstrass M-test는 각 항이 전체 정의역에서 M_n으로 경계되고 sum M_n이 수렴할 때 함수 급수의 균등 절대 수렴을 증명합니다.

On [0,1], f_n(x)=x^n tends to 0 for x<1 and to 1 at x=1. The limit is discontinuous, so convergence cannot be uniform; directly, the supremum error is 1, approached below 1. On [0,a] with 0≤a<1, the limit is zero and the supremum is a^n, which tends to zero, so convergence is uniform. Changing the domain changes the conclusion.

여러 고정된 x 값을 확인하는 것은 최상한 유계나 균일 수렴을 증명하지 않습니다. 가장 큰 오차를 유발하는 점은 n에 따라 이동할 수 있습니다.

Determine pointwise and uniform convergence of $f_n(x)=x^n$ on $[0,1]$ and on $[0,a]$ for fixed $0<a<1$. Compare $\sum1/n^2$ with the alternating harmonic series for absolute convergence.

풀이 과정

On $[0,1]$, the limit is zero for $x<1$ and one at 1. This limit is discontinuous, so continuous $f_n$ cannot converge uniformly. More directly the supremum error on $[0,1)$ is one. On $[0,a]$ the supremum is $a^n\to0$, so convergence is uniform to zero. The p-series with p=2 converges absolutely. The alternating harmonic series converges by decreasing terms tending to zero, but the absolute series diverges; its convergence is conditional.

$g_n(x)=\sin(nx)/n$을 $\mathbb R$에서 고려하시오. 수렴은 균등한가? 도함수가 극한함수의 도함수로 수렴할 수 있는가? 명시적인 점을 사용하여 판단하시오.

시도 후 확인

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$이므로 함수들은 0으로 균일 수렴한다. 그러나 $g_n'(x)=\cos(nx)$이며, $x=0$에서 이 미분들은 모두 1이다. 0 극한의 미분은 0이다. 따라서 함수 자체의 균일 수렴만으로 극한의 미분을 정당화할 수는 없으며, 추가적인 미분 수렴 가정이 필요하다.