A.5 · Polynomials and field extensions

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행지식: 다항식 나눗셈, 체 및 벡터 공간 차원.

• 지정된 체 위 다항식의 기약성 검사
• 기약 다항식에서 작은 유한체를 구성
• 확장 차원과 탑 법칙 사용
• 원시근과 계수 관계를 사용하여 합과 곱 계산

환원 불가능 다항식(irreducible polynomial): 주어진 체 위에서 더 작은 양수 차수의 인수로 분해되지 않는 양수 차수 다항식입니다.

확장 차수(extension degree): 확대체 전체를 기저체 위의 벡터 공간으로 볼 때의 차수입니다.

다항식이 체 위에서 환원 불가능하다는 것은 양의 차수를 가지며 거기에 더 작은 양의 차수의 다항식으로 분해되지 않는다는 것을 의미한다. 이차 또는 삼차 다항식은 해당 체에 근이 없을 때 정확히 환원 가능하다. 이 근 테스트만으로는 4차 이상의 경우 실패합니다; 예를 들어 (x²+1)(x²+2)는 실근을 갖지 않지만 R 위에서 가감분 가능하다. 항상 기저 체를 명시해야 한다.

p가 기약이면 quotient F[x]/(p)는 체이다. p(alpha)=0, 여기서 alpha는 x의 잔류 클래스이다. 이를 사용하여 지수를 감소시켜라. F가 q개의 요소를 가지고 있고 p의 차원이 d이면, quotient는 차원이 d보다 작은 다항식으로 표현되는 q^d개의 요소를 가진다. Z/4Z는 네 개의 요소를 가지지만 영인자가 있으므로 네 개의 요소로 이루어진 체가 아니다.

Over F2, p(x)=x²+x+1 has values 1 at both 0 and 1 and is irreducible. In its quotient alpha²=alpha+1 because subtraction equals addition in characteristic two. The four elements are 0,1,alpha,alpha+1. All three nonzero elements must be units; compute their products rather than treating alpha as an ordinary real number.

For nested finite-degree fields K inside L inside M, the tower law gives [M:K]=[M:L][L:K]. The degree of an algebraic element is the degree of its minimal polynomial. A finite extension of degree two does not contain an element of degree three over the base field. Over Q, sqrt(2) has degree two; adjoining sqrt(3) as well produces a degree-four extension, since sqrt(3) is not in Q(sqrt(2)). Over C, primitive nth roots of unity have exact order n and are the roots of the cyclotomic polynomial Φ_n. For n=10, divide x⁵+1 by x+1 to exclude the order-two root −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Vieta’s formulas give sum 1 and product 1 of its four primitive roots. Do not sum all tenth roots, or assume every nontrivial tenth root is primitive; a root’s order must be checked. For a monic degree d polynomial, product of its roots is (−1)^d times the constant coefficient.

alpha²+alpha+1=0인 F2[alpha]에서, alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1을 계산하라. 따라서 alpha^−1=alpha+1이다. 또한 alpha³=1이고 alpha는 1이 아니므로, 그 가역 순서는 3이다. 이는 네 개의 원소를 갖는 체를 생성한다. 반면 Z/4Z에서 2·2=0이므로, 해당 준군은 체가 아님을 증명한다.

Polynomial reducibility changes with the coefficient field. The polynomial x²−2 is irreducible over Q but splits over R.

$\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$를 구성하라. 그 요소들을 나열하고 잔류 $\alpha=[x]$의 역원을 구하라.

풀이 과정

이 이차함수는 $\mathbb F_2$의 두 원소 모두에서 값 1을 가지므로 근이 없고 환원 불가능합니다. 그 산술은 체입니다. 나눗셈은 차수가 2보다 작은 representative를 남깁니다: $0,1,\alpha,1+\alpha$. 이 관계는 characteristic 2에서 $\alpha^2=\alpha+1$입니다. 따라서 $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$, 즉 $\alpha^{-1}=\alpha+1$입니다. 이는 ⌀이 아닌 영인자(zero divisor)를 가진 $\mathbb Z/4\mathbb Z$와 다릅니다.

$x^4+4$은 $\mathbb Q$ 위에서 환원 불가능한가? 유리근 부재가 이 질문에 답하는가? $\mathbb Q$의 이차 확장에 $\mathbb Q$ 위의 환원 불가능한 삼차 식의 근이 포함될 수 있는가?

시도 후 확인

Direct multiplication gives $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$, so it is reducible over $\mathbb Q$ despite having no real, hence no rational, roots. The no-root test characterises irreducibility only for degree two or three over a field. 환원 불가능한 삼차 식의 근 $\beta$이 차수 2의 확장 L에 속한다면, $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$과 탑 법칙에 의해 3이 2을 나눈다. 이는 불가능하다. 이 결론은 단순히 삼차 방정식이 아니라 환원 가능성에 의존한다.