A.4 · Rings, ideals and modules

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

선행 지식: 환, 체, 가법 부분집합 및 동형사상.

• 단원, 영인수 및 적분역을 구분한다
• 이상을 식별하고 곱환을 해석한다
• 환 위의 모듈과 체 위의 벡터 공간을 비교한다
• 가환성을 가정하지 않고 부울환 성질을 유도한다

이상: 환의 모든 원소에 의해 곱셈이 흡수되는 가법 부분집합이다.

토션: 주어진 모듈에서 비영점 스칼라에 의해 소멸되는 원소이다.

For the domain, ideal and quotient examples below, use a commutative ring with identity 1 distinct from 0. A source problem may specify a general ring instead; do not assume its multiplication commutes unless stated or proved. A unit has a multiplicative inverse. A nonzero zero divisor multiplies some nonzero element to zero. An integral domain has no such zero divisors; cancellation of a nonzero factor then works. A field is a domain in which every nonzero element is a unit. Z is a domain but not a field; Z/6Z is neither.

이상 I는 모든 환 원소에 대해 곱셈을 흡수하는 가법 부분집합이다. 이는 부분환이 되는 것보다 강한 조건이다. Z에서 nZ는 이상이며, 곱집합 원소는 n에 대한 정수 잔여류이다. 가환환에서 R/I는 I가 극대일 때 정확히 체가 되며, I가 소일 때 정확히 적분역이 된다. 두 경우 모두 이상은proper이어야 한다.

A module allows scalars from a ring instead of requiring a field. Every abelian group is a Z-module by repeated addition, but it need not have a vector-space basis. In Z/6Z as a Z-module, 6 times the nonzero residue 1 is zero; this is torsion. For a vector space over a field, a nonzero scalar is invertible and cannot annihilate a nonzero vector.

A submodule is closed under addition and all permitted scalar actions. A linear map of modules preserves both. The kernel and image are submodules, and the quotient by the kernel is isomorphic to the image. Do not apply finite-dimensional rank-nullity to an arbitrary module without establishing an appropriate free-module setting; integer row operations and field row operations permit different divisions. In a general Boolean ring, every a satisfies a²=a. Do not assume commutativity to prove it: idempotence of a+a gives 4a=2a, hence 2a=0. Expanding (a+b)²=a+b gives ab+ba=0, and characteristic two makes −ba=ba; therefore ab=ba. Idempotence does not imply nilpotence: in F2, the nonzero element 1 satisfies 1^n=1 for every positive n.

Z/6Z에서 2·3=0이므로, 2과 3은 nonzero zero divisors입니다. units는 6과 gcd가 1인 1과 5입니다. Z에서 이상 5Z는 field Z/5Z를 주지만, 6Z는 zero divisors를 갖는 quotient를 줍니다. Z-module로서 Z에서 Z/6Z로의 사상은 kernel이 6Z이며, quotient는 6의 배수로 다른 정수들을 동일시하며, 실수 벡터 공간을 생성하지는 않습니다.

set은 rationals 위의 벡터 공간이 아니더라도 submodule이 될 수 있습니다. 스칼라 나눗셈은 스칼라 역이 구조에 속할 때만 유효합니다.

$\mathbb Z/12\mathbb Z$에서 units와 nonzero zero divisors를 나열하십시오. 이상 $(4)$은 prime인지 maximal입니까?

풀이 과정

units는 12과 coprime인 잔차들: $1,5,7,11$입니다. 나머지 nonzero 잔차 $2,3,4,6,8,9,10$는 zero divisors입니다. 이러한 각 a에 대해, modulo 12에서 $a\cdot(12/\gcd(a,12))=0$이며, 두 번째 인자는 0이 아닙니다. 이상 $(4)=\{0,4,8\}$은 quotient가 $\mathbb Z/4\mathbb Z$와 동형인 것을 줍니다. 이는 domain이 아니며($2\cdot2=0$), field가 아니므로, 따라서 이 이상은 prime이기도 하지 않고 maximal이기도 하지 않습니다.

$\mathbb Z$-module로서, $\mathbb Z/6\mathbb Z$은 free일 수 있습니까? respectively ⟨$\mathbb Z$⟩와 ⟨$\mathbb Q[x]$⟩에서의 ideals $(2)$과 $(x)$를 그들의 quotients를 사용하여 비교하십시오.

시도 후 확인

영이 아닌 자유 $\mathbb Z$-모듈에는 영이 아닌 정수에 의해 소멸되는 영이 아닌 벡터가 없다: 각 정수 좌표를 검토하라. 그러나 $6[1]=0$은 $\mathbb Z/6\mathbb Z$에 속한다. 이는 자유 모듈이 아니며, 체 스타일의 기저 논리는 유효하지 않다. $\mathbb Z/(2)\cong\mathbb F_2$는 체이므로 $(2)$은 극대이며 소이다. 0에서의 평가 사상은 $\mathbb Q[x]$을 $\mathbb Q$ 위에 전사적으로 매핑하며, 그 핵은 $(x)$이다; 이 quotient 역시 체이다. 두 논증 모두 단위원을 가지는 가환환의proper ideal를 사용한다.