C.1 · Single-variable calculus and applications

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

전공 prerequisite: 정확한 대수학, 라디안 기반 삼각함수, 함수 및 부등식.

• 극한, 연속성 및 미분 가능성을 사용
• 도함수, 적분 및 기본 정리를 적용
• 리만 합을 인지하고 무한 급수와 구별

연속성: 함수 값이 극한값과 일치함.

수렴: 유한한 극한값에 근접함.

극한은 해당 지점에서의 정의 여부를 요구하지 않고, 지점 근처의 값을 설명합니다. 연속성은 함수 값이 존재하고 극한값과 일치해야 한다는 조건을 추가합니다. 대수적 소거는 소거된 영점 외에서는 유효하지만, 제거 가능한 극한을 드러낼 수 있습니다. 양쪽 극한은 양측 극한이 되기 위해 일치해야 합니다. 분율 극한을 적용할 전에는 분모와 가정을 먼저 확인하십시오; 0/0은 답이 아니라 불정형입니다.

도함수는 차분 비의 극한이며 연속성을 함의하지만, 역은 성립하지 않습니다. |x|가 0에서 이를 보여줍니다. 곱셈, 나눗셈 및 연쇄 법칙은 서로 다른 구조를 묘사합니다: f(g(x))의 도함수는 f′(g(x))g′(x)이며, 관련 없는 값들의 곱이 아닙니다. 합성함수를 두 번째로 미분하면 일반적으로 두 항이 생성됩니다. 기호 표현을 도함수로 사용하기 전에는 정의역, 영이 아닌 분모 및 미분 가능성 가정을 확인하십시오.

기본 정리에 따르면, 연속 피적분함수 f(t)의 a부터 x까지의 적분의 도함수는 f(x)입니다. 상한이 변수 h(x)인 경우 h′(x)를 곱하고, 두 상한이 변수인 경우 하한에 해당하는 기여분을 뺍니다. 정적분 또한 리만 합의 극한으로 나타날 수 있습니다. n에 의존하는 항을 상수로 취급하기 전에, [0,1]에서의 적분으로 식별하기 전에 합을 (1/n)Σf(k/n)로 다시 쓰십시오.

예를 들어 Σ k=1부터 n까지의 n/(n²+k²)은 (1/n)Σ1/(1+(k/n)²)로 변형되어 ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4로 수렴합니다. 이 극한은 연속성과 구간의 너비 1/n을 사용합니다. 무한히 많은 항에 대한 급수는 다른 극한입니다: 항이 0으로 수렴한다고 해서 반드시 수렴을 보장하지는 않습니다. Σ1/k의 부분합은 발산하므로, 필수 조건을 sufficient 조건으로 사용하지 말고 비교, 추정 또는 유효한 급수 검정을 적용하십시오.

F(x)=0부터 x²까지 e^t dt의 적분일 때, 기본 정리와 연쇄법칙에 의해 F′(x)=e^(x²)·2x가 됩니다. x=1일 때, F′(1)=2e입니다. 상한이 x²이므로, 2x를 생략하면 그 변화율을 놓치게 됩니다.

A-level 미적분은 유용한 선행 지식이지만, 여기서 테스트되는 학부 수준의 분석 및 응용을 다루지 않는다.

$F(x)=\int_x^{x^2}(1+t^2)\,dt$이라고 가정하십시오. $F'(x)$과 $F'(2)$를 구하십시오. 정리가 적용되는 이유를 명시하십시오.

풀이 과정

피적분함수는 실수 전체에서 연속이다. 기본 정적분 정리와 연쇄 법칙이 양쪽 경계에서 적용되므로:

별개로 원함수가 $t+t^3/3$임을 알 수 있다. 따라서 $F=x^2+x^6/3-x-x^3/3$, 즉 동일한 미분값을 갖는 함수가 된다.

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k/(n^2+k^2)$를 구하시오. 이것이 리만-합의 극한인 이유를 설명하시오. 그리고 $\sum_{k=1}^{\infty}1/k$이 수렴하는지 결정하시오.

시도 후 확인

각 항을 $\frac1n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$로 변형하시오. 연속 함수 $f(t)=t/(1+t^2)$이 $[0,1]$ 위에서 정의되고 메쉬가 $1/n$일 때 다음을 얻는다:

조화 급수는 발산한다: ⟨$2^{j-1}+1$⟩부터 ⟨$2^j$⟩까지의 블록은 적어도 $2^{j-1}$개의 항을 포함하며 각 항은 적어도 $1/2^j$ 이상이다. 따라서 각 블록은 적어도 $1/2$만큼 더한다. 항이 0으로 수렴하는 것은 필요조건이지만 충분조건은 아니다. 여기서 유한 합 피적분함수는scaled 인덱스에 의존하므로 조화 급수가 아니다.