3 · Sequences, functions and graphs

4MA1 주제 3(규격Issue 2, 2017년 11월). 기본 수준 줄 3.1와 3.3는 고등 수준과 공유됩니다. 고등 수준과 함께; 함수 기호 블록 3.2과 미적분 블록 3.4은 고등 수준 전용이며, 고등 3.3은 그래프를 다항함수, 역함수, 삼각함수 곡선, 변환 및 교점. 6월 2024 고등 시험에서 이 주제는 여섯 가지 주제 중 가장 비중이 크며 (about a third of each paper) and carries the A/A* discriminators: algebraic series sums, 합성함수, 수직선, 선-곡선 교점 및 정지점입니다.

주제 3 필수 지식 (고등 수준 공식 시트는 급수와 사다리꼴 규칙만 제공):

항-항 규칙(term-to-term rule) 은 다음 항을 구하는 방법을 설명합니다 (4 더하기: 5, 9, 13, 17, …; 2 곱하기: 1, 2, 4, 8, …); 위치-항 규칙(position-to-term rule) 은 위치로부터 항을 직접 제공합니다. 산술 수열에서 첫 항이 $a$이고 공차(common difference) 차이 $d$, $n$항은 $u_n = a + (n-1)d$입니다: 1, 3, 5, 7, …에 대한 규칙은 $2n - 1$, "n번째 항은 $4n + 3$"는 7, 11, 15, …을 생성함. 제안된 규칙을 두 위치에서 검증한 후 신뢰하십시오.

고수학에서는 등차수열의 합을 더합니다. 첫 번째와 마지막, 두 번째와 마지막에서 두 번째를 짝짓기하면 $n/2$개의 동일한 쌍의 합 $a + u_n$을 얻음:

$4+7+10+13+\cdots$에 대해: $a=4$, $d=3$, 따라서 $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$를 두 항으로 구하는 것은 항 규칙을 연립방정식으로 사용하는 것입니다: $u_2 = 7$과 $u_5 = 19$가 주어지면 $3d = 12$을 구하여, $d = 4$과 $a = 7 - 4 = 3$을 결정합니다.

*매번 3을 더하므로 n항은 3n + 2, 여덟 번째 항은 26

풀이 예제 (1HR 6월 2024 Q23, 수정됨). 등차수열의 세 연속항은 series are $4x-14$, $x+2$ and $7x-9$. Consecutive terms carry a common difference, so $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$, giving $-3x + 16 = 6x - 11$, so $x = 3$. The terms are $-2, 5, 12, \ldots$: $a = -2$, $d = 7$. 따라서 $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 \times 269 = 5380$. Keep $a$, $d$ 기호로 표현하여 최종 대입까지 유지합니다 — 이는 대수적 과정이며, 산술 계산이 아니라 대수적 풀이가 점수를 받습니다.

함수는 한 집합의 각 입력값을 다른 집합의 정확히 하나의 출력값으로 매핑합니다: 다음처럼 $f(x) = \ldots$ 또는 $f{:}\ x \mapsto \ldots$로 표기합니다. 도메인은 허용되는 입력값들의 집합이고, 영역은 출력값들의 집합입니다. 규칙을 위반하는 입력값은 제외합니다: 예를 들어 $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$의 경우 $x = 2$을 제외하고, $f(x) = \sqrt{x}$의 경우에는 $x \ge 0$을 선택합니다.

합성함수 $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$은 먼저 $g$을 적용한 뒤, 그 결과에 $f$를 적용합니다 — $g$의 결과값은 $f$에 대한 허용된 입력이 되어야 합니다. 역함수 $f^{-1}$은 $f$을 역으로 수행하며, $f$가 일대일 함수인 영역에서만 존재합니다: $f(x) = \sqrt{x-2}$의 경우 (정의역 $x \ge 2$, 치역 $f \ge 0$), $y = \sqrt{x-2}$를 적고 제곱하면 $x = y^2 + 2$이므로, 정의역 $x \ge 0$에서 $f^{-1}(x) = x^2 + 2$입니다. 항상 $f^{-1}(f(x)) = x$을 확인하십시오.

해설 예제 (2HR June 2024 Q17, 수정됨). $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$과 $g(x) = 3x+1$; $\mathrm{fg}(k) = 2$가 주어졌을 때 $k$을 구하십시오. 먼저 $g(k) = 3k+1$을 하고,

따라서 $3k+1 = 12k-4$이 되어 $9k = 5$과 $k = \tfrac59$를 얻습니다. (알아두면 유용한 단축법: 방정식을 $f(x) = 2$로 먼저 풀면 $x = 8/3$을 얻을 수 있으므로, $g(k) = 8/3$를 설정하십시오—더 적은 대수 연산으로 같은 결과를 얻습니다.)

카테시안 좌표는 네 사분면 전체의 점을 지칭하며, 중점은 끝좌표의 평균을 취합니다: 끝좌표: $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. 기울기 직선의 기울기는 $y$의 변화량을 $x$의 변화량으로 나눈 값입니다: 점 $(1,7)$를 지나고 $(2,9)$일 때 기울기는 $2$입니다. 직선 $y = mx+c$의 기울기는 $m$이며, $y$축과 만나는 점은 $(0,c)$ — $y = 3x+5$에 대해 기울기 3와 절편 $(0,5)$입니다. 특수 경우: $x = k$은 수직(유한한 기울기가 없음), $y = c$은 수평(기울기 0)입니다. 변환 그래프 실제 그래프 해석은 이 블록의 일부입니다: 거리-시간 그래프에서 기울기는 속도이며, 속도-시간 그래프에서 기울기는 가속도이고 그래프 아랫 면적은

속도; 속도-시간 그래프에서 기울기는 가속도이며 그래프 아래 면적은 속도; 속도-시간 그래프에서 기울기는 가속도이며 그래프 아랫면적은 이동 거리. 좌표평면 그리기 연습은 일차함수의 값 표 채우기를 포함합니다. ($ax + by = c$ 양식 포함) 및 이차함수, 그리고 그리기된 점들을 잇는 매끄러운 곡선 그리기 — 점들 사이를 직선으로 연결하지 않습니다. 점들을 직선으로 연결하지 말고 매끄러운 곡선을 그립니다.

평행한 직선은 같은 기울기를 가집니다. 수직인 직선의 기울기 곱은 $-1$입니다: $m$에 수직인 직선의 기울기는 $-1/m$입니다. $(x_1, y_1)$을 지나고 기울기가 $m$인 직선은 $y - y_1 = m(x - x_1)$입니다.

해설 예제 (2HR June 2024 Q21, 수정됨). $ABCD$은 $A(-5, 2)$과 $B(3, 5)$; find the equation of $BC$ in the form $ax + by + c = 0$. Adjacent square sides are perpendicular. Gradient of $AB$ is $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$, so gradient of $BC$ is $-\tfrac83$. Through $B(3,5)$: $y - 5 = -\tfrac83(x-3)$, so $3y - 15 = -8x + 24$, $8x + 3y - 39 = 0$을 얻습니다. 끝에서 전개하여 $a$, $b$, $c$가 문제에서 요구한 대로 정수가 되게 하십시오.

Higher 3.3에서는 이차함수 외 세 가지 곡선 계열을 식별하고 그리는 능력을 요구합니다: 세차함수 $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$(모든 부호 가능; $y = x^3 - 4x$은 상승-하강-상승), 역비례함수 $y = A/x$, $y = A/x^2$, $y = A/x^3$(두 갈래로 나뉘어, 점근선이 있으며, 축을 절단하지 않음) 및 도 단위 - 사인과 코사인은 $y = \sin x$과 $y = \cos x$ 사이에서 진동하며 주기는 $y = \tan x$°입니다; 탄젠트는 매 도 — 사인과 코사인은 $-1$과 $1$ 사이에서 진동하며 주기는 360°입니다; 탄젠트는 매 180°마다 반복되며 $90° + 180°n$에서 불연속됩니다. 원점에 중심을 둔 원은 $x^2 + y^2 = r^2$ — 이 원은 교점의 두 번째 곡선으로 이 과정에 진입합니다 질문형.

$y = f(x)$의 네 가지 변환이 필요하며, 선형, 이차, 사인 및 코사인 함수에 대해:

The inside forms act "backwards" on $x$ and only on $x$. For $f(x) = x^2$: $y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ halves the $x$ 값이 커지면 포물선이 더 넓어지고 높아지는 것이 아니라 좁아진다. $y = \sin 2x$인 경우 주기는 절반으로 줄어든다. 180°로 줄어듭니다. 그리는 변환을 그래프에서 읽으십시오(회전점이 어디로 이동했는가?) 그리고 그래프에서 그은 변환을 읽기(회전점이 어디로 이동했는가?)고 대수식으로 적는 것, 두 방향 모두 평가 대상이다.

곡선의 기울기: 지점에서의 접선을 그리고 그 기울기를 세로 이동량/수평 이동량 — 곡선이 아닌 그은 직선을 측정한다. 정확한 곡선 기울기는 미적분(다음 션)이 필요하다. (다음 섹션).

교차점: 선형 $y_1$가 비선형 $y_2$를 만나는 지점의 $x$ 값은 해 $y_2 - y_1 = 0$. $y = 2x+1$과 $y = x^2 + 3x - 2$의 교점 solving $x^2 + x - 3 = 0$을 풀면 되며; $y = 5$과 $y = x^3 - 3x^2 + 7$의 만나는 점은 $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$을 푼다.

해설 예시 (2HR 6월 2024 Q22, 수정). 직선 $y = 3x - 1$이 곡선 $x^2 + y^2 = y + 11$에 직선을 대입하면:

따라서 $x = -\tfrac35$ 또는 $x = \tfrac32$이며, $y = 3x-1$는 $y = -\tfrac{14}{5}$ 또는 $y = \tfrac72$이다. 두 점은 $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$과 $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ — 확인을 위해 다른 방정식에 다시 대입한다: $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

곡선의 기울기는 곡선 전체에서 변하며, 이는 변동적 변화율을 의미한다. 미분으로 이를 정확히 구할 수 있다: $x$의 정수 거듭제곱에 대해,

$y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$인 경우: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$이다. 정지점 이 $\dfrac{dy}{dx} = 0$를 가짐: 여기서 $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$, 따라서 $x = -\tfrac23$ 또는 $x = 6$. Distinguish maximum from minimum from the graph's shape: a cubic with positive $x^3$ coefficient rises–falls–rises... here $y \to -\infty$ as $x \to -\infty$, so the left stationary point $x = -\tfrac23$ is the maximum ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

Worked example (1HR June 2024 Q19, adapted). $C$ has equation $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ and exactly two stationary points $A$ and $B$ with $x_A > x_B$; find $A$. Differentiate and 0으로 설정함: $(3x+2)(x-6) = 0$, 그리고 큰 근은 $x = 6$임. 이를 식에 대입하면 curve: $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$, so $A = (6, -139)$. Marks follow the chain — differentiate (at least two terms right), set to zero, solve the quadratic, substitute back.

운동학: 시간 $t$초 후 변위 $s$m에서 속도는 변위의 변화율이며, 가속도는 속도의 변화율입니다: change of displacement and acceleration the rate of change of velocity: $v = \dfrac{ds}{dt}$, $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$. 다음에 대해 $s = t^3 - 24t$(m, $0 \le t \le 20$): $v = 3t^2 - 24$ m/s 및 $a = 6t$ m/s². 입자는 변위 $v = 0$: $t = \sqrt{8} = 2.83$ s (유효숫자 3개)일 때 즉시 정지합니다.

• 항부터 항으로, 위치부터 항으로 규칙을 사용하여 수열 생성; 정수 수열의 규칙 찾기 (F 3.1 A–B).
• 산술급수에 $u_n = a + (n-1)d$를 사용; 두 항(F 3.1 C, H 3.1 A–B)에서 $a$과 $d$을 구함.
• 대수항이 포함된 등차급수를 $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$로 계산하십시오 (H 3.1 C; 6월 2024 1HR Q23).
• $f(x)$ 및 $f{:}\,x\mapsto$ 표기법 사용; 제외값이 있는 정의역과 값의 범위 명시 (H 3.2 A–C).
• $\mathrm{fg}(x)$ — $g$ 일대일 대응 구성 및 역함수 $f^{-1}$ 구하기 (H 3.2 D; 6월 2024 2HR Q17).
• 사분면 전체에서 그래프 읽기, 그리기, 해석: 중점, 변환 그래프, 거리/속도-시간 그래프, 값 표 (F 3.3 A–I).
• 두 점에서의 기울기; $y = mx + c$; 한 점을 지나는 평행선과 수직선의 방정식 (F 3.3 G–H, H 3.3 F–G; 6월 2024 2HR Q21).
• 삼차함수, 역함수 곡선, $\sin/\cos/\tan$, 그리고 원점 중심의 원 $x^2+y^2=r^2$(H 3.3 A)를 식별하고 스케치하십시오.
• 네 가지 변환 $f(x)+a$, $f(x+a)$, $af(x)$, $f(ax)$(H 3.3 B–C)을 적용하고 읽으십시오.
• 접선을 그어 곡선의 기울기 추정 (H 3.3 D).
• 선형-비선형 교점을 $y_2 - y_1 = 0$로 풀고 대입하여 검증 (H 3.3 E; 6월 2024 2HR Q22).
• 정수 거듭제곱 미분; 정지점 찾기; 그래프 형태로부터 극대/극소 분류 (H 3.4 A–D; 6월 2024 1HR Q19).
• 운동에 미적분 적용: $v = ds/dt$, $a = dv/dt$, '정지'는 $v = 0$임을 의미 (H 3.4 E).

경계 안내: 기하급수와 무한합은 이 수준에서 제외됨 (no 4MA1 3.1의 기하 수열은 정수 거듭제곱인 $x$에 대한 미분에만 국한됩니다 — 연쇄법칙, product and quotient rules are excluded; radian measure is excluded (degrees throughout). Foundation 지원자는 3.1 및 3.3만 충족합니다. 위worked 예시는 다음에서 각색된 것입니다. 검증된 6월 2024 Higher 쌍(메타 평가 증거 참조); 모든 다른 질문들은 시트상의 원본입니다.