FP2 · Further Pure Mathematics 2

추가 순수 수학 2 (FP2, 시험지 WFM02/01, 1 시간 30 분, 75 점, 첫 평가 6월 2020)은 P1–P4 및 FP1를 직접적으로 기반으로 하며, 국제 Advance Level의 6분의 1을 차지함. 수준. 모든 단원이 동일한 가중치를 가지므로, FP2 내용도 Further에서 다시 등장할 수 있습니다. 수학. P1–P4에서 가정하는 내용은 유지됩니다: 부분분수, 매개변수 및 암시적 미분, 부분적분 및 치환법, 그리고 전체 FP1 복소수 및 증명 도구 모음입니다. 이 참고 자료는 절댓값 부등식, 차이법, 오일러의 관계와 드 무아브르 정리, 궤적과 z→w 변환, 1차 및 2차 미분방정식, 맥클로린 및 테일러 급수, 극좌표를 다룹니다.

FP2 필수 지식 (가정됨, 재교육하지 않음):

두 가지 안전한 접근법과 하나의 금지된 접근법이 있습니다. 안전함: 절댓값의 정의에 따라 경우로 나누기 ($\lvert f\rvert = f$ where $f \ge 0$, $-f$ where $f < 0$), and square both sides of $\lvert A\rvert > \lvert B\rvert$를 $A^2 > B^2$로 변형하기 위해 양변을 제곱합니다. 금지됨: 부호가 고정되지 않은 식을 곱하거나 나누는 것 — 대신 그 부호에 대해 경우를 나누고 각 경우를 자체 정의역과 교집합으로 만드십시오. expression whose sign you have not fixed — case-split on that sign instead, and intersect each each case with its own domain.

해설 예제 — 한 가지 분기가 소멸함 (표본 스타일). $\lvert x^2-1\rvert > 2(x+1)$를 푼다. 어디서 $x^2 \ge 1$: $x^2 - 2x - 3 > 0$이므로, 따라서 $(x-3)(x+1) > 0$이며, 이는 $x > 3$ 또는 $x < -1$를 제공하며; 유지 $x \le -1$ 또는 $x \ge 1$ 잎만 남고 $x < -1$ 또는 $x > 3$은 사라진다. $x^2 < 1$인 지점에서: $1 - x^2 > 2x + 2$ $(x+1)^2 < 0$이 된다 — 불가능하다. 해는 $x < -1$ 또는 $x > 3$이다. 사지(dead branch)는 결과일 뿐 실수는 아니다: 실수이므로, 보고해야 한다.

worked example — 양변의 절댓값 (WFM02 June 2025 Q8). 곡선 C의 방정식은 $y = \dfrac{15x}{\lvert x\rvert + 4}$이고 직선 l의 방정식은 $y = x - 2$이다.

(a) $x - 2 > \dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}$을 풀라. 분모는 항상 양수이므로, 양변에 그대로 곱한다. $x \ge 0$에 대해: $(x-2)(x+4) > 15x$이 $x^2 - 13x - 8 > 0$이 되므로, $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$ (the other root is negative). For $x < 0$: $(x-2)(4-x) > 15x$ gives $-x^2 - 9x - 8 > 0$, 즉 $(x+1)(x+8) < 0$이므로 $-8 < x < -1$이다. 합치면: $-8 < x < -1$ 또는 $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$.

(b) $\lvert x-2\rvert > \left\lvert\dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}\right\rvert$를 풉니다. 양변은 모두 음수가 아니므로 양변을 제곱하고 $(\lvert x\rvert+4)^2$를 곱합니다: 부등식은 $PQ > 0$이 되며, $P = (x-2)(\lvert x\rvert+4) - 15x$ (part (a)의 식)와 $Q = (x-2)(\lvert x\rvert+4) + 15x$. 따라서 $P$과 $Q$는 동일한 부호여야 합니다. 단순히 "$P > 0$ 또는 $Q < 0$"를 갖는 것만으로는 부족합니다. $x \ge 0$에 대해: $P = x^2 - 13x - 8$와 $Q = x^2 + 17x - 8$. 둘 다 $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$에서는 양수이고, $0 \le x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$에서는 음수이다. $x < 0$에 대해: 모든 $x < 0$에 대해 $Q = -x^2 + 21x - 8$은 음수이므로, 우리는 $P < 0$이 필요한데, 이는 $(x+1)(x+8) > 0$: $x < -8$ 또는 $-1 < x < 0$. 함께: $x < -8$ 또는 $-1 < x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$ 또는 $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$. ($x = -5$ 확인: $\lvert x-2\rvert = 7$이지만 $\left\lvert\tfrac{-75}{9}\right\rvert = 8.3$이 아니므로, $-5$은 적절히 배제되었다.) 'hence'는 사실이다: (a)의 인자 $P$이 반쪽 역할을 한다.

차분법은 항을 분할(보통 분해분수를 통해)하여 각 항이 후속 항의 일부분을 상쇄하도록 하여 급수를 합산하는 방법이다 — 중간 partial fractions) so that each term cancels part of a later one — the middle 파괴되고 첫 번째와 마지막 조각만 남습니다. $r = 1$, $r = 2$, $r = n-1$, $r = n$을 명시적으로 적어 out하여 소거되는 부분을 확인하세요; 그 표시가 점수를 얻게 합니다.

해설 예제 — 닫힌 형태로의 테일링(WFM02 6월 2025 Q5). Show $\displaystyle\sum_{r=1}^n \frac{1}{(r+1)(r+2)} = \frac{n}{2(n+2)}$를 분할합니다:

The sum is $\left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \left(\tfrac13 - \tfrac14\right) + \cdots + \left(\tfrac1{n+1} - \tfrac1{n+2}\right)$: everything from $\tfrac13$ to $\tfrac1{n+1}$이 소거됩니다. 나머지는 $\tfrac12 - \tfrac1{n+2} = \tfrac{n}{2(n+2)}$입니다. ($n = 1$를 확인하세요: 양변이 $\tfrac16$.) 이것은 부등식 후속 문제의 설정 방식이기도 합니다: $\dfrac{n}{2(n+2)} > 0.49$은 다음이 필요합니다. $n > 98$, 따라서 최소값은 $n = 99$입니다 — 값 표가 아닌 대수적 계산입니다.

오일러 관계 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$는 극좌표 형태를 지수 형태로 바꿉니다. 지수함수: $z = re^{i\theta}$, 그리고 $z^n = r^ne^{in\theta}$는 순수 산술급수가 됩니다. 읽기 $\cos\theta = \tfrac12(e^{i\theta} + e^{-i\theta})$를 읽으십시오. 드 무아브르 정리 $\sin\theta = \dfrac1{2i}(e^{i\theta} - e^{-i\theta})$. 드 무아브르 정리 $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$가 이어지며, 이는 모든 positive integer $n$ by induction: true for $n = 1$; if true for $k$, multiplying $(\cos k\theta + i\sin k\theta)(\cos\theta + i\sin\theta)$와 더하기 법을 사용하여 공식을 적용하면 $\cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta$를 얻습니다. 음수 $n$에 대해서는 역수를 취하고, $\cos(-n\theta) + i\sin(-n\theta)$의 절댓값이 1이고 오른쪽 인자가 있음을 유의하십시오.

작업 예시 — 다각 공식 (WFM02 June 2025 Q9). 허부분을 전개하여 이항 정리 $(\cos\theta + i\sin\theta)^5$에 의해:

드모아르에 따르면 이는 $\sin 5\theta$과 같습니다. $c^2 = 1 - s^2$를 대입하면: $5s(1-s^2)^2 - 10s^3(1-s^2) + s^5 = 16s^5 - 20s^3 + 5s$이므로,

$5\theta = \pi$을 설정하면 $16s^4 - 20s^2 + 5 = 0$이 되므로, $s^2 = \tfrac{5\pm\sqrt5}8$와 $\sin\tfrac\pi5 = \sqrt{\tfrac{5-\sqrt5}8} = \tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4$ — 작은 근을 선택합니다. $\sin\tfrac\pi5 < \sin\tfrac{3\pi}5$이기 때문이며, 실제로 $\sin\tfrac{3\pi}5$은 더 큰 근입니다.

풀이 예제 — 5차근 (WFM02 June 2025 Q1). $z^5 = -2\sqrt2 - 2\sqrt6i$을 풀이하십시오. 절댓값 $\sqrt{8 + 24} = \sqrt{32} = 4\sqrt2$; 편각은 $-\tfrac{2\pi}3$(삼분면, $\tan = \sqrt3$)입니다. 따라서

원 $\lvert z\rvert = \sqrt2$ 위에서 간격 $\tfrac{2\pi}5$으로 배치된 5개의 근을 구합니다. 다음 $n$차근 패턴 $\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$을 사용하십시오 — 소수점 근사값을 절대 사용하지 마십시오.

아르망도 도표의 국소 툴키트: $\lvert z - a\rvert = b$은 원(중심 $a$, 반지름 $b$); $\lvert z - a\rvert = \lvert z - b\rvert$은 수직 이등분선입니다. $a$과 $b$의 수직 이등분선; $\lvert z - a\rvert = k\lvert z - b\rvert$는 $k \ne 1$과 함께 원입니다 (양변을 제곱하여 항을 묶으십시오); $\arg(z - a) = \beta$은 $a$에서 시작하는 반직선입니다. 영역 =를 < or >로 교체하고 적절한 점 하나를 테스트하십시오(원점은 거의 국소에 위치하지 않습니다). 예를 들어 점별 substitution 대신: 먼저 $w = \dfrac{az+b}{cz+d}$을 주체로 만든 뒤, 양변의 절댓값(또는 argument)을 취한다. $ad-bc\ne0$일 때, 등절댓값 판독이 예측한다. 수직 지름의 끝점을 검산해 보라: 점별: 먼저 $z$을 주체로 만든 다음 양변의 절댓값(또는 arguments)을 취합니다. $c\ne0$일 때, a 극점 $z = -\tfrac dc$을 지나는 원은 직선으로 매핑되며, 극점을 지나지 않는 원 은 원으로 매핑됩니다.

풀이 예제 — 원의 그림 (WFM02 6월 2025 Q3). $w = \dfrac{9i - iz}{1+z}$ ($z \ne -1$)는 P, 즉 $\lvert z\rvert = 1$를 직선 l로 매핑합니다. $z$을 주체로 만듭니다: $z(w + i) = 9i - w$이므로 $z = \dfrac{9i - w}{w+i}$입니다. 따라서 $\lvert z\rvert = 1$은 강제로

따라서 $20v = 80$이며 l은 $v = 4$입니다 — 즉 $9i$과 $-i$의 수직 이등분선으로, 정확히 초기 선(양수 방향의 극축)과 함께 제공된다. $z = i \mapsto 5 + 4i$와 $z = -i \mapsto -5 + 4i$; 둘 다 $v = 4$ 위에 위치합니다.

분리 가능한 미분방정식이 가정됩니다. 새로운 표준형은 $\dfrac{dy}{dx} + Py = Q$이며, $P, Q$함수는 $x$의 함수입니다: 적분인자를 곱합니다 $e^{\int P\,dx}$, 왼쪽이 $\dfrac d{dx}\left(ye^{\int P\,dx}\right)$가 되도록 선택하여, 한 번 적분합니다. 주어진 치환(예: $z = f(y)$)에 대해, 체인 법칙에 의해 $\dfrac{dz}{dx}$를 계산하고, 방정식을 $z$과 $x$로 다시 쓰고, 풀고(이제는 선형 또는 변수분리 가능), 방정식을 풀고 다시 대입합니다 — 문제에서 목표형을 명시하므로 최종적으로 그 형태로 마칩니다.

풀이 예제 — 적분인자 복습. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$: $e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$이므로 $\dfrac d{dx}(ye^{2x}) = e^x$와 $ye^{2x} = e^x + C$입니다, i.e. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$.

풀이 예제 — 치환 후 적분인자 사용 (WFM02 6월 2025 Q6). 방정식 (I)은 $2\dfrac{dy}{dx} + y\cot x + y^3\tan x\sec x = 0$입니다 $0 < x < \tfrac\pi2$에서.

(a) $z = \tfrac1{y^2}$, $\dfrac{dz}{dx} = -2y^{-3}\dfrac{dy}{dx}$이므로 $2\dfrac{dy}{dx} = -y^3\dfrac{dz}{dx}$. 대입하고 $y^3$로 나눈 결과: $-\dfrac{dz}{dx} + y^{-2}\cot x + \tan x\sec x = 0$, i.e.

(b) 적분 인자는 $e^{-\int\cot x\,dx} = \csc x$이므로, $\dfrac d{dx}(z\csc x) = \csc x\tan x\sec x = \dfrac1{\cos^2x} = \sec^2x$. 따라서 $z\csc x = \tan x + C$, 이는 $z = \sin x\tan x + C\sin x$을 주며,

(c) $x = \tfrac\pi6$에서: $y^2 = \tfrac{4\sqrt3}3$이므로 $z = \tfrac{\sqrt3}4 = \tfrac12\cdot\tfrac1{\sqrt3} + \tfrac C2$, $C = \tfrac1{2\sqrt3}$를 유도함. $x = \tfrac\pi3$에서: $z = \tfrac{\sqrt3}2\cdot\sqrt3 + \tfrac1{2\sqrt3}\cdot\tfrac{\sqrt3}2 = \tfrac32 + \tfrac14 = \tfrac74$이므로 $y^2 = \tfrac47$이고 $y = \pm\dfrac2{\sqrt7}$. 두 부호 모두 정답 — $y^2$이 아니라 $y$이 결정됨.

$a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$에 대한 일반해는 $\text{CF} + \text{PI}$: 보조함수가 동형 방정식을 풀고 보조방정식 $am^2 + bm + c = 0$을 통해; 특수적분 는 전체 방정식의 임의의 단일 해임.

초기 조건 또는 경계 조건이 주어지면, 최종 상수를 전체 일반해로부터 구한다.

해설 예제 — 공명, 그리고 조건 (WFM02 June 2025 Q4). 다음이 주어질 때, $y = \lambda xe^{3x}$가 $4\dfrac{d^2y}{dx^2} - 11\dfrac{dy}{dx} - 3y = 78e^{3x}$의 특해인 경우:

(a) $y' = \lambda e^{3x}(1 + 3x)$과 $y'' = \lambda e^{3x}(6 + 9x)$에 대해, 좌변은 $\lambda e^{3x}\big(24 + 36x - 11 - 33x - 3x\big) = 13\lambda e^{3x}$이다. $78e^{3x}$와 정렬하여 $\lambda = 6$를 구할 수 있다. (단순 시안 $\lambda e^{3x}$을 사용하면 $0\cdot e^{3x}$이 나옴—따라서 추가된 $x$이 필요함.)

(b) 보조 방정식 $4m^2 - 11m - 3 = (4m+1)(m-3) = 0$이므로, $m = -\tfrac14$ 또는 $3$: $y = Ae^{-x/4} + Be^{3x} + 6xe^{3x}$.

(c) $y = \tfrac92$과 $y' = 0$이 $x = 0$에서 주어질 때: $A + B = \tfrac92$과 $-\tfrac A4 + 3B + 6 = 0$이다. 이를 풀면, $A = 6$, $B = -\tfrac32$이 되므로,

$f$의 맥클로린 급수는 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ — differentiate as many times as the question asks (third and higher 미분은 자체적으로 출제될 수 있다). 테일러 급수는 $x = a$에 대해 $x$을 편이로 교체한다: $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$. 이를 위해 미분 방정식을 미분하여 계단을 올라가라: 해설 예제 — 비영점 중심에 대한 급수 해법 (WFM$y(a)$ June $y'(a)$ Q$y''(a)$). 다음이 주어질 때, $y'''(a)$, 등등 — 다시 유도하지 말고 미분만 하라.

해설 예제 — 0이 아닌 중심에서의 급수 해법 (WFM02 6월 2025 Q2). 주어진 $\dfrac{d^2y}{dx^2} - 4\dfrac{dy}{dx} - 5y = e^{2x/9}$에 $y = 2$과 $y' = -1$이 $x = 3$일 때:

$x = 3$에서: $y'' = 4y' + 5y + e^{2/3} = -4 + 10 + e^{2/3} = 6 + e^{2/3}$, 따라서 이차항은 이 $\tfrac12(6 + e^{2/3})(x-3)^2 = (3 + \tfrac12e^{2/3})(x-3)^2$. 방정식을 미분하면, $y''' = 4y'' + 5y' + \tfrac29e^{2x/9}$, 따라서 $x = 3$에서: $y''' = 4(6 + e^{2/3}) - 5 + \tfrac29e^{2/3} = 19 + \tfrac{38}9e^{2/3}$, 그리고 삼차항은 $\tfrac16y'''(x-3)^3$이다. 급수는

극좌표에서 한 점은 $(r, \theta)$이며, 이 $r \ge 0$는 initial line (the positive $x$-축을 기준으로 $\theta$ 반시계 방향으로 측정한다). 변환 공식은 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$: 예를 들어 $r = 4\cos\theta$은 $r^2 = 4r\cos\theta$로 변환되며, 즉 $x^2 + y^2 = 4x$ — 원 $(x-2)^2 + y^2 = 4$. 스테플 스케치에 대한 지식을-held: $r = 2a\cos\theta$ (극점을 지나고 초선에 있는 원), $r = k\theta$(나선), $r = a(1+\cos\theta)$ (심장형 곡선), $r = a\cos2\theta$(네 개의 꽃잎), $r^2 = a^2\cos2\theta$ (lemniscate, existing only where $\cos2\theta \ge 0$). The area swept from $\theta = \alpha$부터 $\beta$까지의 면적은 $\tfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$입니다; 접선 초선과 평행한 접선은 $\dfrac{dy}{d\theta} = \dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta = 0$일 때 나타난다.

풀이 예제 — 정확한 면적. 전체 리마트 $r^2 = 8\cos2\theta$: 대칭성에 의해 오른쪽 루프는 $\tfrac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}8\cos2\theta\,d\theta = 4\Big[\tfrac12\sin2\theta\Big]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 4$이므로 두 루프가 둘러싼 총 면적은 $8$이다. 심장형 곡선 $r = 2(1+\cos\theta)$: $\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}4(1+\cos\theta)^2d\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta = 2(2\pi + 0 + \pi) = 6\pi$, 왜냐하면 $\int_{-\pi}^\pi\cos^2\theta\,d\theta = \pi$.

• 절댓값 부등식을 경우의 수로 나누거나 제곱하여 풀기; 분모에 $|x|$이 들어가는 경우 처리; 해를 잃는 구간 확인; 'hence'가 나오면 이전 결과를 활용.
• 유한 수열의 합을 부분분수 및 소거法으로 구하고 $r = 1, 2, n-1, n$ 행을 적기; 이어지는 부등식은 대수적으로 증명.
• $e^{i\theta}$, $\cos$과 $\sin$의 지수 형태, 그리고 정수 $n$에 대해 증명된 드 무아브르 공식을 사용하여 다각도 및 거듭제곱 전개, 모든 $n$차 근을 정확한 극 형식으로 구하기.
• 원, 이등분선, 아폴로니우스 원, 인접 반직선을 그리기; 영역 테스트; 모비우스 변환에서 $z$을 주체로 만들고 절댓값 또는 각도를 등식화.
• 적분 인자를 사용하여 $\frac{dy}{dx} + Py = Q$를 풀고, 주어진 치환을 수행하며, $y^2$에서의 $\pm$에 유의하여 요구되는 형태로 답하십시오.
• 보조 방정식과 시뮬레이션 특해(PI)를 이용한 2계 미분방정식 풀기($x$ 배율 공명 포함); 초기 조건 적용.
• 맥클로린 및 테일러 급수 구성, 미분방정식의 급수 해법(방정식을 미분하여) 포함.
• 극 곡선 그리기, 직교좌표로 변환 및 역변환, $\frac12\int r^2\,d\theta$을 사용한 정확히 계산된 면적 평가.